1、立体几何一、 单选题1已知中，点在线段上除，的位置运动，现沿进行翻折，使得线段上存在一点，满足平面；若恒成立，则实数的最大值为A1BC2D解：因为，且点在线段上除、的位置运动，要使上存在一点，满足平面，使恒成立，则当恰好为点时，为临界条件不可为点，但可用来计算），即，且，因为，可得，所以，解得，所以的最大值为1故选：2已知四面体，平面，于，于，则A可能与垂直，的面积有最大值B不可能与垂直，的面积有最大值C可能与垂直，的面积没有最大值D不可能与垂直，的面积没有最大值解：不妨假设，由，、平面，得平面，平面，、平面，平面，由平面，得，此时平面，则，而，矛盾，故不可能与垂直，故错误；设，由题意得，其中
2、，为锐角，若的面积有最大值，即当最大时，即，时，取最大锐角，此时面积趋向最大，即，三点共线出现矛盾，没有最大面积，故错误故选：3如图，分别是菱形的边，上的点，且，现将沿折起，得到空间四边形，在折起过程中，下列说法正确的是A直线，有可能平行B直线，一定异面C直线，一定相交，且交点一定在直线上D直线，一定相交，但交点不一定在直线上解：，则，且，又，则，且，且，四边形为平面四边形，故直线，一定共面，故错误；若直线与平行，则四边形为平行四边形，可得，与矛盾，故错误；由，且，可得直线，一定相交，设交点为，则，又平面，可得平面，同理，平面，而平面平面，即直线，一定相交，且交点一定在直线上，故正确，错误故选
3、：4三棱锥中，则异面直线与所成的角可能是ABCD解：设由于，将侧面沿展开到平面，则三点、共线，又此三棱锥可看成将沿直线翻折而成的，故不难得设异面直线与所成的角为，则，即，故选：5在三棱锥中，、分别为、的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD解：连结，如图所示，因为，又，平面，所以平面，又，平面，所以，又因为为的中点，所以，同理可得，又因为，所以和都是等边三角形，故，则三棱锥是正四面体，取的中点，连结，则，所以为直线与所成的角（或其补角），因为，所以，在中，由余弦定理可得，所以异面直线与所成角的余弦值为故选：6棱长为1的正方体中，点在线段上，（点异于、两点），线段的中点为，若平面截该正方
4、体所得的截面为四边形，则线段长度的取值范围为A，B，C，D，解：如图，设平面与直线交于点，因为是正方体，所以平面平面，而平面平面，平面平面，所以，则，所以，所以，要使平面截该正方体所得的截面为四边形，则需要点在线段上，当点在点处时，恰好在线段的中点处，因为点在线段上，所以，所以，则，即，所以，即的范围为，故选：7如图1，直线将矩形分为两个直角梯形和，将梯形沿边翻折，如图2，在翻折过程中（平面和平面不重合），下列说法正确的是A在翻折过程中，恒有直线平面B存在某一位置，使得平面C存在某一位置，使得D存在某一位置，使得平面解：对于，由题意得：，平面平面，平面，在翻折过程中，恒有直线平面，故正确；对于
5、，直线将矩形分为两个直角梯形和，与相交，不存在某一位置，使得平面，故错误；对于，平面，平面，不存在某一位置，使得，故错误；对于，四边形是梯形，与不垂直，不存在某一位置，使得平面，故错误故选：8四棱锥中，平面，为中点，平面交于，则与所成角的余弦值为ABCD解：延长，相交于点，连结与交于点，在中，为的中点，为的中点，故为的重心，所以，在上取，使得，则，所以即为与所成的角（或补角），作于点，不妨设，则，在中，连结，可得，又，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以，故，则有，所以，由余弦定理可得，所以与所成角的余弦值为故选：二、 多选题9已知正方体的棱长为2，为的中点，平面过点且与垂直，则AB平面
6、C平面平面D平面截正方体所得的截面面积为解：以为原点，、为、轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为正方体的棱长为2，为的中点，所以，0，0，2，2，所以，2，所以，即，选项正确；因为，平面，所以或，若，则为平面，因为，0，且，所以，所以，选项正确；因为，2，所以，又在平面上，所以平面与平面不平行，选项错误；取、的中点分别为、，连接、，过作于点，因为，所以，又在、中，所以四边形是等腰梯形，又，1，2，且，所以平面即为平面，所求截面面积即为等腰梯形的面积；又，在中，所以，所以选项正确故选：10如图，已知，是相互垂直的两条异面直线，直线与，均相互垂直，且，动点，分别位于直线，上，若直线与所成的角
7、，线段的中点为，下列说法正确的是A的长度为B的长度不是定值C点的轨迹是圆D三棱锥的体积为定值解：过点作于点，连接，如图所示：则，故，故正确；不正确；设的中点为，易得，且，则有，设的中点为，连接，易得四边形为平行四边形，故，即点到平面的距离为定值，可得点的轨迹为圆，故正确；当点与点重合时，三棱锥体转换为三角形，其体积为0，而当点与点不重合时，且点与点不重合时，其体积显然不为0，故错误，故选：11如图所示，在矩形中，为上一动点，现将沿折起至，在平面内作，为垂足设，则下列说法正确的是A若平面，则B若平面，则C若平面平面，且，则D若平面平面，且，则解：如图，对于，若平面，则有，在中，则，所以，在中，即
8、，故错误；对于，若平面，则有，在中，在中，即，解得，故正确；对于，若平面平面，过点作，垂足为，连接，因为平面平面，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因为，所以在等腰中，所以在等腰中，故正确；对于，若平面平面，因为平面平面，所以平面，所以，过点作，垂足为，连接，因为，所以平面，又平面，所以，所以在矩形中，连接，则有，三点共线，则，又，所以，又，由知，因为，所以，故正确故选：12正方体的棱长为2，分别为，的中点则A直线与直线垂直B直线与平面平行C平面截正方体所得的截面面积为D点和点到平面的距离相等解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系则，0，2，2，0，0，0，2，对于，0，2，直线
9、与直线不垂直，故错误；对于，2，2，2，设平面的法向量，则，取，得，1，平面，直线与平面平行，故正确；对于，连接，分别是，的中点，面截正方体所得的截面为梯形，面截正方体所得的截面面积为：，故正确；对于，由知平面的法向量，1，点到平面的距离，点到平面的距离，点和点到平面的距离相等，故正确故选：三、 填空题13在四面体中，则、所成的角的余弦值为解：作出四面体的外接长方体，如图所示，设长，宽，高，则由勾股定理可得，解得，连结交于点，则异面直线、所成的角为（或补角），在中，由余弦定理可得，所以、所成的角的余弦值为故答案为：14在三棱锥中，平面平面，为线段上一动点，当取最小值时，解：取的中点，因为，所以
10、，又因为平面平面，平面平面，所以平面，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设，因为，故，所以，当且仅当时取等号，故当取最小值时，故答案为：15在空间四边形中，分别是，的中点，若，则与所成的角为解：因为，分别是，的中点，则，因为，所以四边形是一个边长为1的菱形，又，设菱形的对角线与交于点，则，在中，所以，所以，即与所成的角为故答案为：16在正四棱柱（底面为正方形且侧棱垂直于底面）中，是的中点，则异面直线与所成角的大小为解：设的中点为，连结，正四棱柱（底面为正方形且侧棱垂直于底面）中，底面为正方形，设，则，分别为，的中点，故，所以异面直线与所成的角即为与所成的角即，则，则，在中，由余弦定理可得，因为异面直线所成的角的范围为，所以，故异面直线与所成角的大小为故答案为：