1、4.5.3函数模型的应用学 习 目 标核 心 素 养1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)2能建立函数模型解决实际问题(重点、难点)3了解拟合函数模型并解决实际问题(重点)通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养.1常用函数模型常用函数模型(1)一次函数模型ykxb(k，b为常数，k0)(2)二次函数模型yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(3)指数函数模型ybaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)(4)对数函数模型ymlogaxn(m，a，n为常数，m0，a0且a1)(5)幂函数模型yaxnb(a，b为常数，a0)(6)分段函数模型y2.建
2、立函数模型解决问题的基本过程思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原这些步骤用框图表示如图：1如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型B二次函数模型C指数函数模型 D对数函数模型A自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型故选A.2某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为yalog2
3、(x1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A300只B400只C600只 D700只A将x1，y100代入yalog2(x1)得，100alog2(11)，解得a100.所以x7时，y100log2(71)300.3据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()Ay0.3x800(0x2 000)By0.3x1 600(0x2 000)Cy0.3x800(0x2 000)Dy0.3x1 600(0x2 000)D由题
4、意知，变速车存车数为(2 000x)辆次，则总收入y0.5x(2 000x)0.80.3x1 600(0x2 000)4某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(xN)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过_年7设二次函数ya(x6)211，又过点(4,7)，所以a1，即y(x6)211.解y0，得6x6，所以有营运利润的时间为2.又627，所以有营运利润的时间不超过7年利用已知函数模型解决实际问题【例1】物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则TTa(T0Ta)，其中Ta
5、表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡，放在24 的房间中，如果咖啡降温到40 需要20 min，那么降温到32 时，需要多长时间？解先设定半衰期h，由题意知4024(8824)，即，解之，得h10，故原式可化简为T24(8824)，当T32时，代入上式，得3224(8824)，即3，t30.因此，需要30 min，可降温到32 .已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.1某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：P(tN*)设
6、该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q40t(0t30，tN*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？解设日销售金额为y(元)，则yPQ，所以y(tN*)当0t0)(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值思路点拨解(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1，由此可得ykx(0xm)(2)对原二次函数配方，得y(x2mx)2，即当x时，y取得最大值.1(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？解根据题意，由于最大畜
7、养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y(0xm)2(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围解由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0xym.因为当x时，ymax，所以0m，解得2k0，所以0k2.自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程
8、、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.拟合数据构建函数模型解决实际问题探究问题1实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？提示：不一定2对于收集的一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(xn，yn)我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律【例3】某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已知2015年为第1年，
9、前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出20152018年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？思路点拨解(1)画出散点图，如图所示(2)由散点图知，可选用一次函数模型设f(x)axb(a0)由已知得解得f(x)1.5x2.5.检验：f(2)5.5，且|5.585.5|0.080.1，f(4)8.5，且|8.448.5|0.
10、061.2，所以，这个男生偏胖1函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论2解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题1思考辨析(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述()(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型()(3)
11、当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型()答案(1)(2)(3)2根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是()A B C D答案B3若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()Ay0.957 6By(0.957 6)100xCyxDy10.042 4A由题意可知y(95.76%)，即y0.957 6.4已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象解(1)汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s60t(0t2.5)汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s150(2.5t3.5)由B地返回A地，则汽车到A地的距离s15050(t3.5)32550t(3.5t6.5)综上，s它的图象如图(1)所示(1)(2)(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v它的图象如图(2)所示