1、抛物线一、 单选题1设抛物线的焦点为，已知，且，抛物线上一点满足，若线段的垂直平分线过点，则直线的斜率为ABCD解：因为，且轴，所以，所以，解得，所以点的坐标为，因为直线垂直平分，且点在上，所以，所以，解得，所以点的坐标为，所以，所以，故选：2已知圆，若抛物线与圆的交点为，且，则A6B4C3D2解：设，则，由圆，得圆心，半径，所以，因为，所以，所以，即，解得，故选：3抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴该性质在实际生产中应用非常广泛如图，从抛物线的焦点发出的两条光线，分别经抛物线上的，两点反射，已知两条入射光线与轴所成锐角均为，则两条反射光线和之间的距离为
2、ABCD解：由，得，又，所以直线的方程为，即，联立，得，所以或（舍去），即，同理直线的方程为，即，联立，得，所以或（舍去），即，所以，即两条反射光线的距离为，故选：4已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于点，（点在第一象限），过，两点分别作准线的垂线，垂足为，连接交轴于点，若，则直线的斜率为A1BC2D解：设与轴的交点为，由抛物线的定义可知，因为轴，所以四边形是菱形，又因为，所以，因为，所以，即，因为，所以，所以，所以，在菱形中，所以，所以是的中点，又点到准线的距离为，所以，所以，在直角三角形中，所以，又，所以直线的斜率，故选：5抛物线的焦点为，过的直线交该抛物线于、两点，则的最小值为A8B
3、9C10D11解：抛物线的焦点为，设，当直线的斜率存在时，设直线的方程为联立，化为，则，当且仅当时取等号当直线的斜率不存在时，综上，的最小值为9故选：6过抛物线上一点作圆的切线，切点为，则当四边形的面积最小时，点的坐标是ABCD解：设，由圆的方程可得圆心，半径，设，时，函数单调递增，时，函数单调递减，所以时，当四边形的面积最小，而为定值，所以最小时面积最小，而，所以最小时即可，此时，即，故选：7过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，与抛物线的准线交于点，且，则ABCD解：设直线的倾斜角为：，可得，所以，解得，所以故选：8历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年年），大约100年后，阿
4、波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点设抛物线，一束平行于抛物线对称轴的光线经过，被抛物线反射后，又射到抛物线上的点，则点的坐标为A，B，C，D，解：设光线被抛物线反射的反射点为，则轴，把代入，得，设抛物线的焦点为，则，直线的方程为，即，又，解得，或，故选：二、 多选题9设，是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是A若，则B若，直线过定点C若，到直线的距离不大于1D若直线过抛物线的焦点，且
5、，则解：对于选项，当且仅当时等号成立，故选项正确；对于选项：若，显然直线的斜率存在，设直线的方程为：，联立方程，消去得：，设，或1，易知直线不过原点，直线的方程为：，恒过定点，故选项错误，原点到直线的距离，故选项正确；对于选项：直线过抛物线的焦点，设直线的方程为：，联立方程，消去得：，设，不妨设点在轴右侧，故选项正确，故选：10在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与该抛物线的两个交点为，则AB以为直径的圆与直线相切C的最小值D经过点与轴垂直的直线与直线交点一定在定直线上解：由抛物线的方程可得焦点，显然过焦点的直线的斜率显然存在，设直线的方程为：，联立，整理可得：，可得，所以，；所以正确；以
6、为直径的圆的圆心坐标为：，即，半径，所以圆心到直线的距离为：等于半径，所以圆与直线相切，所以正确；当直线与轴平行时，所以的最小值不是，故不正确；直线的方程为：，与的交点坐标为：，因为，所以经过点与轴垂直的直线与直线交点在定直线上，故正确；故选：11已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，分别为，在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是AB直线的斜率为C的面积为D为等腰直角三角形解：令，又，正确，设，令，联立，消可得，又因，或，即，错，到距离，正确，时，此时，不是等腰直角三角形，错，故选：12设，是抛物线上两个不同的点，为坐标原点，若直线与的斜率之积为，则下列结论正确的有ABC直线过
7、抛物线的焦点D面积的最小值是2解：取，满足，从而，故错误；由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立方程，消去整理可得：，则，因为，所以，故直线过定点，正确；因为抛物线的焦点，所以直线过焦点，则由抛物线的性质可得，正确；由以上可知直线的方程为，则，原点到直线的距离为，则三角形的面积为，当且仅当时取等号，此时三角形的面积的最小值为2，故正确，故选：三、 填空题13设抛物线的焦点为，过的两条直线，分别交抛物线于点，且，的斜率，满足，则的最小值为解：抛物线的焦点坐标为，设直线，直线，联立，整理得设，则，设，同理可得由抛物线的性质可得：，又，的最小值为8故答案为：814如图，已知抛物线的焦点为，
8、直线过点且依次交抛物线及圆于、四点，则的最小值为解：抛物线的准线为，所以，因为，所以，同理，当直线的斜率不存在时，当直线的斜率存在时，设，由得，所以，所以，综上，的最小值为1115抛物线的焦点为，准线为，上点在上的射影为，与轴相交于点，与相交于点，则；解：如图，由，得，由图可知，为的中点，是线段的中线，因此，；，设，则，则或，当时，此时；当时，此时故答案为：；10或16已知抛物线的焦点为，过且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程，此时该弦中点到轴的距离为解：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，代入，得设，弦长为2，由抛物线定义知，则，即，令，得，抛物线满足条件；设弦的中点为，即此时该弦中点到轴的距离为故答案为：；