1、高考总复习第（1）轮理科数学第六单元数列与算法第41讲 数列的综合问题1掌握数列的通项、前 n 项和及等差、等比数列的综合问题处理的方法和技巧2培养分析、归纳、抽象、概括的能力数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题；二是数列与其他知识相联系的综合问题，解决此类问题应注意数学思想方法的运用 1(2017全国卷)等差数列an的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a3，a6 成等比数列，则an前 6 项的和为()A24 B3 C3 D8解：由已知条件可得 a11，d0，由 a23a2a6 可得(12d)2(1d)(15d)，解得 d2.所以 S661652224.答案：A2(201
2、7全国卷)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是 20，接下来的两项是 20,21，再接下来的三项是 20,21,22，依此类推求满足如下条件的最小整数 N：N100 且该数列的前N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是()A440B330C220D110解：设首项为第 1 组，接下来的两项为第 2 组，再接下来的三项为第 3组，依此类推，则第 n 组的项数为 n，前 n 组的项数和为n1n
3、2.由题意知，N100，令n1n2100n14 且 nN*，即 N 出现在第 13 组之后第 n 组的各项和为12n12 2n1，前 n 组所有项的和为212n12 n2n12n.设 N 是第 n1 组的第 k 项，若要使前 N 项和为 2 的整数幂，则 Nn1n2项的和即第 n1 组的前 k 项的和 2k1 应与2n 互为相反数，即2k12n(kN*，n14)，klog2(n3)n 最小为 29，此时 k5，则 N2912925440.答案：A数列的通项与求和数列与不等式的综合【例 1】已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a112，an1n12n an.(1)证明：数列ann 是等比数列
4、；(2)求通项 an 与前 n 项的和 Sn.考点1数列的通项与求和解：(1)证明：因为 a112，an1n12n an.所以当 nN*时，ann 0，又an1n1ann12(nN*)为常数，所以ann 是以12为公比的等比数列(2)因为a11 12，所以ann 是以12为首项，12为公比的等比数列 所以ann 12(12)n1，所以 ann(12)n.所以 Sn1(12)2(12)2n(12)n，12Sn1(12)22(12)3n(12)n1，所以12Sn(12)(12)2(12)nn(12)n1，所以 Sn2(12)n1n(12)n2(n2)(12)n.综上，ann(12)n，Sn2(n2
5、)(12)n.【变式探究】1(2017南阳期中)已知数列an的各项均为正数，前 n 项的和为 Sn，且 Snanan12(nN*)(1)求证：数列an是等差数列；(2)设 bn 12Sn，Tnb1b2bn，求 Tn.解：(1)证明：因为 Snanan12，nN*，所以当 n1 时，a1S1a1a112(an0)，所以 a11.当 n2 时，由2Sna2nan，2Sn1a2n1an1，由得 2ana2nana2n1an1，即(anan1)(anan11)0，因为 anan10，所以 anan11(n2)，所以数列an是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列(2)由(1)可得 ann，Snnn1
6、2，bn 12Sn1nn11n 1n1.所以 Tnb1b2b3bn 11212131n 1n1 1 1n1 nn1.点评：(1)递推数列求通项，其基本的思路就是转化为等差数列或等比数列求解，如例 1 是通过证明“辅助数列”ann 是等比数列达到转化的，而变式 1 是通过恒等变形得到an是等差数列，从而可求出通项(2)数列求和是高考的热点问题，重点要掌握“错位相减法”和“裂项求和法”等求和方法【例 2】(2018衡阳二模)已知各项均不为零的数列an的前 n 项和为 Sn，且对任意 nN*，满足 Sn13a1(an1)(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足 anbnlog4an，数列bn
7、的前 n 项和为 Tn，求证：Tn49.考点2数列与不等式的综合解：(1)当 n1 时，a1S113a1(a11)，a10，解得 a14.所以 Sn43(an1)，当 n2 时，Sn143(an11)，两式相减得 SnSn143(anan1)，即 an4an1.所以数列an是首项为 4，公比为 4 的等比数列，所以 an4n，当 n1 时，也成立所以数列an的通项公式为 an4n.(2)证明：因为数列bn满足 anbnlog4ann，所以 bn n4n，所以 Tn1(14)12(14)23(14)3n(14)n，14Tn1(14)22(14)33(14)4n(14)n1，两式相减得34Tn14
8、(14)2(14)3(14)nn(14)n1141（14）n114n(14)n1，所以 Tn493n494n49.【变式探究】2(经典真题)已知数列an满足 a11，an13an1.(1)证明an12 是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：1a11a21an32.解：(1)由 an13an1 得 an1123(an12)又 a11232，所以an12 是首项为32，公比为 3 的等比数列所以 an123n2，因此an的通项公式为 an3n12.(2)由(1)知1an23n1，因为 n1 时，3n123n1，所以13n1123n1.于是1a11a21an113 13n132(1 13n)3
9、2.所以1a11a21an32.点评：对于和的形式的不等式的证明常采用放缩法进行，求解时，注意：(1)若和式可以直接求和，则先对和式进行求和然后再进行放缩；(2)若和式不能直接求和，则考虑将通项进行适当放缩，这时要注意两个问题：其一是放缩的方向；其二是从哪一项开始放缩 1数列的综合应用是高考的难点，经常出现在解答题中，但全国新课标高考的数列题难度有所降低，一般在解答题的第一个位置，主要是数列之间的综合2数列自身的综合的问题，要注意熟练掌握等差数列与等比数列两个特殊数列的定义、通项及前 n 项和公式及其性质，同时要注意掌握几种特殊类型的递推关系求通项的方法及数列求和的常用方法3数列可以看作为自变量为正整数的函数，因此，要注意用函数观点来解决有关数列问题数列与不等式的综合问题，考查方式主要有三种：(1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小(2)以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值(3)考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明点击进入WORD链接
