1、4.2 一元二次不等式及其解法 教材要点要点一 一元二次不等式一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次是_的不等式叫作一元二次不等式通常，一般表达式是：ax2bxc0 或ax2bxc000)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根 x1，x2(x10(a0)的解集_x|x b2a_ax2bxc0)的解集_x|xx2Rx|x1x0 时，解形如 ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)的一元二次不等式，一般可分为三步：确定对应方程 ax2bxc0 的解；画出对应函数 yax2bxc 的图象简图；由图象得出不等式的解集对于 a0 时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一
2、元二次不等式，再求解(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当 p0，则 xq 或 xp；若(xp)(xq)0，则 px0；求 b24ac；若 0，根据二次函数的图象直接写出解集；若 0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)mx25x0 是一元二次不等式()(2)若不等式 ax2bxc0 的解集为x|x1x0.()(3)若不等式 ax2bxc0 的解集是x|xx2，则方程 ax2bxc0 的两个根是 x1 和 x2.()(4)若方程 ax2bxc0 没有实数根，则不等式 ax2bxc0的解集为 R.()解
3、析：方程 ax2bxc0 没有实根，说明函数 yax2bxc的图象与 x 轴无交点当 a0 时，图象在 x 轴上方，不等式 ax2bxc0 的解集为 R；当 a0 的解集为.2不等式 2x2x10 的解集是()A.xx1 Bx|x2Cx|x1 D.x12x0，所以 x1.故选A.答案：A3若不等式 ax28ax210 的解集是x|7x0，且7 和1 为方程 ax28ax210的两个根，由根与系数的关系得(7)(1)21a，解得 a3.故选 C.答案：C4不等式 x26x100 的解集为_.解析：6241040的解集为 R.答案：R题型一 解不含参数的一元二次不等式自主完成 求下列不等式的解集：
4、(1)2x27x30；(2)x28x30；(3)x24x50；(4)4x218x814 0；(5)12x23x50；(6)2x23x20，所以方程 2x27x30 有两个不等实根 x13，x212，又二次函数 y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx12或x0，所以方程x28x30 有两个不等实根 x14 13，x24 13，又二次函数 yx28x3 的图象开口向下，所以原不等式的解集为x|4 13x4 13(3)原不等式可化为(x5)(x1)0，所以原不等式的解集为x|1x5(4)原不等式可化为 2x9220，所以原不等式的解集为xx94.(5)原不等式可化为 x26x100，
5、因为 624040，因为 942270，所以原不等式的解集为 R.方法归纳 解不含参数的一元二次不等式的方法方法一：若不等式对应的一元二次方程 ax2bxc0 的左边能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集方法二：若不等式对应的一元二次方程 ax2bxc0 的左边能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得方法三：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法题型二 解含参数的一元二次不等式师生共研例 1 解不等式：ax2(a1)x10，aR.两级分类：第一级：二次项系数
6、的正、负、零的分类；第二级：二次项系数不为 0 的前提下，借助 与 0 的大小讨论或相应一元二次方程两根的大小讨论解析：(1)当 a0 时，原不等式变为x11.(2)当 a0 时，原不等式变为(ax1)(x1)0当 a0，解得 x1 或 x0 时，不等式变为x1a(x1)0.1a11aa，当 0a1，解得 1x1 时，1a1，解得1ax1.综上，当 a1 或 x1；当 0a1 时，原不等式的解集是x1x1 时，原不等式的解集是x1ax0(或0.解析：对于方程 2x2ax20，其判别式 a216(a4)(a4)当 a4 或 a0，方程 2x2ax20 的两根为 x114(a a216)，x214
7、(a a216)原不等式的解集为xx14a a216.当 a4 时，0，方程有两个相等实根，x1x21，原不等式的解集为x|x1当 a4 时，0，方程有两个相等实根，x1x21，原不等式的解集为x|x1当4a4 时，0 的解集为x|2x3，求关于 x 的不等式 cx2bxa0 的解集为x|2x3可知，a0，且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的两根，由根与系数的关系可知ba5，ca6.由 a0 知 c0，bc56，故不等式 cx2bxa0，即 x256x160，解得 x12，所以不等式 cx2bxa0 的解集为x|2x3可知，a0，且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的两根，所以 ax
8、2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式 cx2bxa0，即 6ax25axa06ax13 x12 0，故原不等式的解集为，13 12，.变式探究 将本例中“x|2x3”换为“x|x3”，求关于 x 的不等式 cx2bxa0 的解集为x|x3可知 a0，且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的两根，由根与系数的关系可知ba5，ca6，由 a0 知 b0，bc56，故不等式 cx2bxa0，即 x2bcxac0即 x256x160，解得13x12，所以不等式 cx2bxa0 的解集为x13x0 的解集为x|x3可知，a0，且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的两根
9、，所以 ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式 cx2bxa0，即 6ax25axa06ax13 x12 0，故原不等式的解集为x13x12.方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系(2)若一元二次不等式的解集为 R 或，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与 x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围跟踪训练 2 已知一元二次不等式 x2pxq0 的解集为x12x0 的解集解析：因为 x2pxq0 的解集为x12x0 即为16x216x10，整理得 x2x60，解得2x0 的解集为x|2x3易错辨析 忽视不等式对应方程根的大小致误例 3 解关于 x 的不等式 21x24axa20.解析：原不等式等价于xa3 xa7 0 时，a7a3，原不等式的解集为xa3xa7；当 a0 时，a7a3，原不等式的解集为xa7xa3；当 a0 时，原不等式的解集为.易错警示易错原因纠错心得 忽视对 a 进行讨论，误认为a3a7，得到错解为xa3xa7.当一元二次不等式解集的端点值(即对应方程的根)无法比较大小时，一定要注意分类讨论.