1、第25讲 平面向量的基本定理和向量的坐标运算【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件.【基础检测】1.已知向量a(1，m)，b(m，2)，若ab，则实数m等于()A.2B.2C.2或 2D.0C【解析】本题主要考查向量平行的充要条件的坐标表示.ab的充要条件的坐标表示为12m20，m 2.2.已知向量a、b满足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，则|.5【解析】当ab0，则ba，于是|b|a|，因为b(2，1)，所以|b|5，又因为|a|1，所以|5.3.在平面
2、直角坐标系xOy中，已知OA(1，t)，OB(2，2).若ABO90，则实数t的值为_.5【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算，考查转化思想和运算能力.AB OB OA(3，2t)，由题意知OB AB 0，所以232(2t)0，t5.【解析】本题考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理等基础知识，意在考查方程思想和考生的运算求解能力.设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根据平面向量基本定理得2，12，所以4.4.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若cab(，R)，则_.4【知识要点】1.平面向量基本定理如
3、果 e1 和 e2 是一个平面内的两个向量，那么对于该平面内的任意向量 a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2.我们把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面上任一向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 axiyj.这样，平面内的任一向量 a都可由 x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，y)，把 a(x，y)叫做向量的坐标表示，|a|x2y2叫做向量 a 的长度(模).不共线3.平面向
4、量坐标运算向量的加减法若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab，ab.实数与向量的积若 a(x1，y1)，R，则 a.向量的坐标若起点 A(x1，y1)，终点 B(x2，y2)则AB.(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)4.两向量平行和垂直的坐标表示(1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2y1x20.(2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y20.一、用向量解决平面几何问题例1已知O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，OMt1OA t2AB.(1)求证：当t11时，不论t2为何实数，A、B、
5、M三点都共线；(2)若t1a2，求当OM AB 且ABM的面积为12时a的值.【解析】由条件知OM t1OA t2AB t1(0，2)t2(4，4)(4t2，2t14t2).(1)证明：当 t11 时，OM(4t2，4t22).AB OB OA(4，4)，AM OM OA(4t2，4t2)t2AB，A、B、M 三点共线.(2)当 t1a2 时，OM(4t2，4t22a2).又AB(4，4)，OM AB.4t24(4t22a2)40，t214a2，故OM(a2，a2)，又|AB|4 2，点 M 到直线 AB：xy20 的距离 d|a2a22|2 2|a21|.SABM12，12|AB|d124
6、2 2|a21|12，解得 a2，故所求 a 的值为2.二、向量平行与垂直的条件及应用例 2 已知：a、b、c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1，2).(1)若|c|2 5，且 ca，求 c 的坐标；(2)若|b|52，且 a2b 与 2ab 垂直，求 a 与 b的夹角.【解析】(1)设 c(x，y)，由 ca 和|c|2 5可得：1y2x0 x2y220，x2y4或x2y4 c(2，4)，或 c(2，4).(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即 2a23ab2b20，2|a|23ab2|b|20，253ab2540，所以ab52 cos ab|a|b|1，0，.【点评】弄
7、清楚向量平行和垂直的等价转化条件即可.三、向量基本定理及应用例 3 已知点 O 是ABC 内的一点，AOB150，BOC90，设OA a，OB b，OC c，且|a|2，|b|1，|c|3，试用 b 和 c 表示 a.【解析】以 O 为原点，OC，OB所在的直线为 x 轴和 y 轴建立如图所示的坐标系.由 OA2，AOx120，所以 A(2cos 120，2sin 120)，即A(1，3)，易求 B(0，1)，C(3，0)，设OA 1OB 2OC，即(1，3)1(0，1)2(3，0)，13231，1 3213.a 3b13c.【点评】若题设条件中向量种类较多时，可考虑应用向量的基本定理，利用基
8、向量表示所研究的全体向量.四、平面向量与函数的综合问题例4在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，a b 1，ab0，点Q满足OQ 2(ab).曲线CP|OP acos bsin ，0 2，区域P|0r|PQ|R，rR.若C为两段分离的曲线，则()A.1rR3 B.1r3RC.r1R3 D.1r3RA【解析】设a(1，0)，b(0，1)，则OQ(2，2)，OP(cos x，sin x)，区域表示的是平面上的点到点Q(2，2)的距离从r到R之间，如右图中的阴影部分圆环，要使C为两段分离的曲线，则1rR3，故选A.【点评】知识：向量数量积的运算律，向量减法的几何意义.能力：题中根据向量OQ，OP
9、 表示点 Q，P的曲线，考查运算求解能力，根据数形结合思想求出1rR3，考查抽象概括能力.备选题例 5 设两个向量 a(2，2cos2)和 bm，m2sin ，其中、m、为实数，若 a2b，则 m的取值范围是()A.6，1 B.4，8C.1，1 D.1，6A【解析】由 a2b知22m，2cos2 m2sin 2m2，2mcos2 2sin .又 cos2 2sin sin2 2sin 1(sin 1)22，2cos2 2sin 2，22m(2m2)2m2，14m2.m2m2m22m6，1.1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理，平面向量 对应 实数对(x，y)，任何一个平面向量都有唯一的
10、坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一.也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系，即实数对(x，y)OA点A(x，y).2.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标.本讲易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.一一对应一一对应3.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题
11、的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法.1.(2015 江苏)已知向量 a(2，1)，b(1，2)，若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_.-3【解析】根据向量相等，先求 m，n，再求 mn.manb(2mn，m2n)(9，8)，2mn9，m2n8，m2，n5，mn253.2.(2015 湖南)已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动，且 ABBC.若点 P 的坐标为(2，0)，则|PAPBPC|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9B【解析】解析 1：画出图形，利用向量加法的几何意义通过数形结合求解.AC 为
12、圆周上 RtABC的斜边，则 AC 为圆 x2y21 的一条直径，故 AC 必经过原点，如图，则PAPC2PO，|PAPB PC|2POPB|2|PO|PB|，当 P，O，B 三点共线时取等号，即当 B 落在点(1，0)处时|PAPBPC|取得最大值，此时，PO(2，0)，PB(3，0)，2|PO|PB|2237，故|PAPBPC|的最大值为 7.解析 2：利用向量的线性运算及数量积求解.同解析 1，得|PAPBPC|2PO PB|.又PBOB OP，|PAPBPC|2PO OB OP|OB 3OP|OB 29OP 26OB OP 12922612cosPOB 3712cosPOB 37127
13、，当且仅当POB180时取“等号”，故|PAPBPC|的最大值为 7.解析 3：设出点 B 的坐标，转化为坐标运算求解.同解析 1，得|PAPBPC|2PO PB|.设 B(cos，sin)，则|2PO PB|2(2，0)(cos 2，sin )|(6 cos ，sin )|（6cos）2sin23712cos 37127(当 cos 1，即 B 落在点(1，0)处时取等号).故|PAPBPC|的最大值为 7.1.已知点 A(1，3)，B(4，1)，则与向量AB 同方向的单位向量为()A.35，45B.45，35C.35，45 D.45，35A【解析】本题主要考查向量的坐标表示.由已知，得AB
14、(3，4)，所以|AB|5，因此与AB 同方向的单位向量是15AB 35，45.2.已知向量 a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数 k()A.92B.0 C.3 D.153C【解析】因为 a(k，3)，b(1，4)，所以 2a3b(2k3，6).又因为(2a3b)c，所以(2a3b)c0，所以 2(2k3)(6)0，解得：k3，故选 C.3.已知向量 a(1，m)，b(m2，m)，则向量 ab 所在的直线可能为()A.x 轴B.第一、三象限的角平分线C.y 轴D.第二、四象限的角平分线A【解析】ab(1，m)(m2，m)(m21，0)，其横坐标恒大于零，纵坐标等于
15、零，故向量 ab 所在的直线可能为 x 轴.4.已知向量OA(1，3)，OB(2，1)，OC(k1，k2)，若 A、B、C 三点不能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是()A.k2 B.k12C.k1 D.k1C【解析】若点 A、B、C 不能构成三角形，则向量AB，AC 共线，AB OB OA(2，1)(1，3)(1，2)，AC OC OA(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得 k1.5.若平面向量 a，b 满足|ab|1，ab 平行于 x 轴，b(2，1)，则 a.(1，1)或(3，1)【解析】设 a(x，y)，则 ab(x2，y1)，由题意（x2）2（y1）21，y
16、10y1，x1或3.a(1，1)或 a(3，1).6.已知向量集合 Ma|a(1，2)1(3，4)，1R，Nb|b(2，2)2(4，5)，2R，则 MN.(2，2)【解析】由(1，2)1(3，4)(2，2)2(4，5)，得131242241252，解得1120，MN(2，2).7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 a(2，1)，A(1，0)，B(cos ，t).(1)若 aAB，且|AB|5|OA|，求向量OB 的坐标；(2)若 aAB，求 ycos2 cos t42的最小值.【解析】(1)AB(cos 1，t)，又 aAB，2tcos 10.cos 12t.又|AB|5|OA|，
17、(cos 1)2t25.由得，5t25，t21.t1.当 t1 时，cos 3(舍去)，当 t1 时，cos 1，B(1，1)，OB(1，1).(2)由 aAB 可知 t22cos，ycos2cos（cos 1）24 54cos232cos 1454cos265cos 14 54cos 35215，当 cos 35时，ymin15.8.若定义向量 v 关于向量 u 的函数为 vf(u)，其对应法则是：若向量 u(x，y)，则向量 v(y，2yx).(1)设 a(1，1)，b(1，0)，求向量 f(a)与 f(b)的坐标；(2)求 f(c)(p，q)(p，q 为常数)的向量 c 的坐标；(3)证
18、明：对任意向量 a，b 及常数 m，n，恒有f(manb)mf(a)nf(b)成立.【解析】(1)a(1，1)，f(a)(1，211)(1，1)，又b(1，0)，f(b)(0，201)(0，1).(2)设 c(x，y)，则 f(c)(y，2yx)(p，q)，yp2yxq，求得x2pqyp，则 c(2pq，p).(3)设 a(a1，a2)，b(b1，b2).则 manb(ma1nb1，ma2nb2)，所以 f(manb)(ma2nb2，2ma22nb2ma1nb1)，又 mf(a)nf(b)m(a2，2a2a1)n(b2，2b2b1)(ma2，2ma2ma1)(nb2，2nb2nb1)(ma2nb2，2ma22nb2ma1nb1)f(manb).