1、第2课时 基本不等式的应用 教材要点要点 基本不等式与最值当 x，y 均为正数时，下面命题均成立：(1)若 xys(s 为定值)，则当且仅当 xy 时，xy 取得_；(2)若 xyp(p 为定值)，则当且仅当 xy 时，xy 取得_最大值s24最小值 2 p状元随笔 利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等一正：各项必须为正二定：各项之和或各项之积为定值三相等：必须验证取等号时条件是否具备教材答疑教材 P29 思考交流设矩形的长为 x cm，宽为 y cm，则 xy16 cm2，所以周长 2(xy)4 xy16.当且仅当 xy4 cm 时，周长最小，即边长为 4 cm的正方形的
2、周长最小基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数 yx1x的最小值为 2.()(2)若 ab2，则 ab 的最小值为 2 2.()(3)当 x1 时，函数 f(x)x 1x12xx1，所以函数 f(x)的最小值为 2xx1.()(4)yx1x的值域为2，)()2若 a1，则 a 1a1的最小值是()A2 BaC.2 aa1 D3解析：a1，所以 a10，所以 a 1a1a1 1a112a11a113.当且仅当 a1 1a1即 a2 时取等号答案：D3若 a0，b0，a2b5，则 ab 的最大值为()A25 B.252C.254 D.258解析：a0，b0，a2b5，a2b52
3、 2ab，ab258，当且仅当 a2b52时取等号，故选 D.答案：D4已知 x，y 都是正数(1)如果 xy15，则 xy 的最小值是_(2)如果 xy15，则 xy 的最大值是_解析：(1)xy2 xy2 15，即 xy 的最小值是 2 15；当且仅当 xy 15时取最小值(2)xyxy2215222254，即 xy 的最大值是2254.当且仅当 xy152 时 xy 取最大值答案：(1)2 15(2)2254题型一 利用基本不等式求最值微点探究微点 1 无条件求最值例 1(1)若 0 x12，则 yx(12x)的最大值是()A.14B.18C1 D4解析：(1)0 x0，yx(12x)1
4、22x12x2218，当且仅当 2x12x，即 x14时取等号(也可用二次函数配方法求解)答案：(1)B(2)已知 x1，求 y4x28x5x1的最小值换元法：令 t x10.解析：(2)x1，令 tx1(t0)，则 xt1，所以 y4x28x5x14t128t15t4t21t4t1t2 4t1t4.当且仅当 4t1t，即 t12，x32时取等号所以 y4x28x5x1的最小值为 4.答案：(2)4微点 2 有条件求最值例 2(1)若 a0，b0，a3b1，则1a 13b的最小值为()A2 B2 2C4 D3 2解析：(1)a0，b0，a3b1，1a 13b1a 13b(a3b)23ba a3
5、b223ba a3b224.当且仅当 a3b 时等号成立，所以1a 13b的最小值为 4.答案：(1)C(2)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是_解析：(2)x3y5xy，x0，y0，15y 35x1，3x4y(3x4y)15y 35x 135 3x5y12y5x 135 23x5y12y5x5当且仅当3x5y12y5x，即 x2y1 时取等号答案：(2)5状元随笔 应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号，此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数、“1”的整体代入等变形技巧，选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果跟踪训练
6、 1(1)已知正实数 a，b 满足 a4b1，则1ab 的最小值为()A4 B6C9 D10解析：(1)a0，b0，a4b1，1ab1ab a4b 5ab 4ab52ab 4ab9.当且仅当ab 4aba4b1时，即 a13，b6时取“”答案：(1)C(2)已知 x12，则 2x12x1的最大值是_解析：(2)x0，2x12x12x112x1112x112x 112x0，12x112x212x112x2(当且仅当 x0 时，等号成立)2x12x1211.答案：(2)1题型二 利用基本不等式求参数师生共研例 3 设 x，yR，(xy)1x1y a 恒成立，则实数 a 的最大值为()A2 B4C8
7、 D16解析：因为 x，yR，所以(xy)1x1y 2xyyx22xyyx4，当且仅当 xy1 时等号成立，而 x，yR，(xy)1x1y a恒成立，故 a4，也即 a 的最大值为 4.答案：B状元随笔 运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题方法归纳 恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若 ay 恒成立，则aymin；若 ay 恒成立，则 aymax.将问题转化为求 y 的最值问题，可能会用到基本不等式跟踪训练 2 已知两个正数 x，y 满足 xy4，则使不等式1x4ym 恒成立的实数 m 的范围是_解析：x0，y
8、0，xy4，1x4y1x4y 14(xy)145yx4xy 1452 yx4xy 14(54)94.当yx4xy 时取等号，1x4y的最小值是94.m94.答案：m94题型三 利用基本不等式解决实际问题师生共研例 4 如图，某学校准备修建一个面积为 600 平方米的矩形活动场地(图中 ABCD)的围栏，按照修建要求，中间用围墙 EF 隔开，使得 ABEF 为矩形，EFDC 为正方形，设 ABx 米，已知围墙(包括EF)的修建费用均为每米 800 元，设围墙(包括 EF)的修建总费用为y 元(1)求出 y 关于 x 的函数解析式及 x 的取值范围；(2)当 x 为何值时，围墙(包括 EF)的修建
9、总费用 y 最小？并求出y 的最小值解析：(1)设 ADt 米，则由题意得 xt600，且 tx，故 t600 xx，可得 0 x10 6，则 y800(3x2t)8003x2600 x2 400 x400 x，所以 y 关于 x 的函数解析式为 y2 400 x400 x(0 x0，n0，且满足 2mn2，则1m8n的最小值是_解 析：m0，n0,2m n 2，m n2 1.1m 8n 1m8n mn2 5 n2m8mn 52n2m8mn 9.当且仅当 n2m8mn，即 m13，n43时取等号答案：9易错警示易错原因纠错心得 错解：m0，n0，22mn2 2mn，mn12，1mn2，1m8n28mn2 828故1m8n的最小值为 8.上述求解过程中使用了两次基本不等式，但这两次取等号的条件不能同时成立，所以等号取不到.连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取到等号的条件成立.