1、第2课时组合数的应用最新课程标准1.学会运用组合的概念分析简单的实际问题(重点)2能解决无限制条件的组合问题3掌握解决组合问题的常见的方法(难点)知识点一组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个_对象中取出m(mn)个对象不同点：排列与对象的_有关，组合与对象的_无关知识点二应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算(4)结论：根据计算结果写出方案个数基础自测1把三张游园票分给10个人中的3人，分法有_种2甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3
2、门，则不同的选修方案共有_种3将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)4将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有_种题型一无限制条件的组合问题例1在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题方法归纳
3、解答简单的组合问题的思考方法1弄清要做的这件事是什么事2选出的对象是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题3结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果跟踪训练1现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？题型二有限制条件的组合问题例2高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的选法有
4、多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决方法归纳常见的限制条件及解题方法1特殊对象：若要选取的对象中有特殊对象，则要以有无特殊对象，特殊对象的多少作为分类依据2含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解3分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解跟踪训练2“抗震救灾，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外
5、科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？题型三组合在几何中的应用例3平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数方法归纳1解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理2图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用
6、直接法，也可采用排除法跟踪训练3四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？题型四分组分配问题例4将6本不同的书分为三组，在下列条件下分别有多少种不同的分配方法？(1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)方法归纳一般地，n个不同的对象分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，mp，其中k组元素数目相等，那么分组方法数是，简言之，部分平均分组，有“几个”平均分就除以“几”的阶乘跟踪训练4将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，在下列条件下分别有多少种不同的分配方法？
7、(1)甲2本，乙2本，丙2本；(2)甲1本，乙2本，丙3本；(3)甲4本，乙、丙每人1本；(4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本；(6)一人4本，其余两人每人1本题型五排列、组合的综合应用1.从集合1,2,3,4中任取两个不同对象相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？提示共有C 6(个)不同结果完成的“这件事”是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同对象并相乘2从集合1,2,3,4中任取两个不同对象相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？提示共有A2 10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：从集合1,2
8、,3,4中任取两个不同对象并相除3完成“从集合0,1,2,3,4中任取三个不同对象组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？提示由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行第一类：0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC 18(种)不同的结果，由分类加法计数原理，完成“这件事”共有ACCC 30(种)不同的结果例5有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，
9、求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表(1)按选中女生的人数多少分类选取(2)采用先选后排的方法(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表方法归纳解决排列、组合综合问题要采用先选后排的方法解决时通常从以下三个途径考虑：1以对象为主考虑，即先满足特殊对象的要求，再考虑其他对象；2以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；3
10、先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数跟踪训练5某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种教材反思第2课时组合数的应用新知初探自主学习知识点一不同顺序顺序基础自测1解析：把三张票分给10个人中的3人，不同分法有C120(种)答案：1202解析：甲选修2门，有C6(种)不同方案乙选修3门，有C4(种)不同选修方案丙选修3门，有C4(种)不同选修方案由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有64496(种)答案：963解析：有CCA36种满足题意的分配方案其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中
11、某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数答案：364解析：每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有CCCC112种分配方案答案：112课堂探究素养提升例1【解析】(1)从中任选5人是组合问题，共有C792种不同的选法(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C36种不同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C126种不同的选法(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲
12、、乙、丙中选1人，有C3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法共有CC378种不同的选法跟踪训练1解析：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同对象中取出2个元素的组合数，即C45.(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2 名是女教师有C种方法，即共有CC21(种)选法例2【解析】(1)从余下的34名学生中选取2名，有C561(种)不同的选法有561种(2)从34名可选学生中选取3名，有C5 984(种)或者CCC5 984种不同的选法有5 984种(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC2 100(种)不同的选
13、法有2 100种(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方法NCCC2 1004552 555(种)不同的选法有2 555种(5)选取3名的总数有C，至多有2名女生在内的选取方式共有NCC6 5454556 090(种)不同的选法有6 090种跟踪训练2解析：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC90(种)抽调方法(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法方法一：(直接法)按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有CC种选法；选3名外科专家，共有CC种选法；选4名外科专家，共有CC种选法根据分类加法
14、计数原理，共有CCCCCC185(种)抽调方法方法二：(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：CCCC185(种)抽调方法(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有C种选法；有1名外科专家参加，有CC种选法；有2名外科专家参加，有CC种选法所以共有CCCCC115(种)抽调方法例3【解析】方法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC48个不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC1
15、12个不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C56个不同的三角形由分类加法计数原理知，不同的三角形共有4811256216(个)方法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C4种故这12个点能构成三角形的个数为CC216个跟踪训练3解析：如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法根据分类加法计数原理，不同的取法有3C333种例4【解析】(1)每组2本，均
16、分为三组共有15(种)分配方法(2)一组1本，一组2本，一组3本共有CCC20360(种)分配方法(3)一组4本，另外两组各1本共有15(种)分配方法跟踪训练4解析：(1)(2)(3)中，由于每人分得的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得：(1)共有CCC90(种)不同的分配方法；(2)共有CCC60(种)不同的分配方法；(3)共有CCC30(种)不同的分配方法(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙三人因此，(4)共有CCCAA90(种)不同的分配方法；(5)共有CCCA360(种)不同的分配方法；(6)共有CCCAA90(种)不同的分配方法例5【解析】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CCCC种，后排有A种，共(CCCC)A5 400种(2)除去该女生后，先选后排，有CA840种(3)先选后排，但先安排该男生，有CCA3 360种(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共CCA360种跟踪训练5解析：CCCA1 080.答案：1 080
