1、二、建立函数模型解决实际问题实例建立函数模型解决实际问题【例1】据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即t(h)内台风所经过的路程s(km).(1)当t4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由思路点拨(1)由图求出直线OA的方程，把t4代入可得s的值；(2)由图分析可知
2、s是关于t的分段函数，分三段求出即可；(3)利用(2)中所得的函数的值域求解解(1)由图象可知，直线OA的方程是v3t，直线BC的方程是v2t70.当t4时，v12，所以s41224.(2)当0t10时，st3tt2；当10t20时，s1030(t10)3030t150；当20t35时，s150300(t20)(2t7030)t270t550.综上可知，s随t变化的规律是s(3)当t0，10时，smax102150650，当t(10，20时，smax3020150450650，当t(20，35时，令t270t550650，解得t30或t40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N城1解函数应
3、用题的一般步骤第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：解模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性2把实际问题数学模型化一定要过好三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口；(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系；(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型1已知
4、美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润解(1)当040时，WxR(x)(16x40)16x7 360.所以W(2)当040时，W16x7 360，由于16x21 600，当且仅当16x，即x50(40，)时，取等号，所以W取最大值为5 760.综合知，当x32时，W取得最大值6 104万元【例2】发现问题、提出问题
5、作为日常必需品之一的天然气是清洁能源，很多家庭的一日三餐都要用天然气来做，但由于我国的天然气大部分依靠进口，时常出现供应紧张的局面，节约用气刻不容缓，为了研究燃气灶在何种情况下最省气，某学校数学建模小组通过实验得到了如下数据：燃气旋钮在不同位置的烧开一壶水所需燃气量项目位置燃气表开始时读数/m3燃气表水开时读数/m3所用燃气量/m3189.0809.2100.130368.9589.0800.122548.8198.9580.139720.6708.8190.149908.4988.6700.172分析问题、建立模型用表内数据，在直角坐标系上标出旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的点由图可以看出，5
6、个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大，燃气用量有一个从大到小又从小到大的过程在我们学习过的函数图象中，二次函数的图象与之最接近，可以用二次函数近似地表示这种变化确定参数、计算求解设函数式为yax2bxc，取三对数据即可求出表达式的系数，不妨取(18，0.130)，(36，0.122)，(90，0.172)，得方程组解得a1.903 3105，b1.472 2103，c1.503 3101.则函数式为y1.903 3105x21.472 2103x1.503 3101.求燃气用量最少时的旋钮位置，实际上是求函数y1.903 3105x21.472 2103x1.503 3101的最小值点x0.x03
7、9.即燃气用量最少时的旋钮位置是旋转39的位置，这时的用气量大约是y00.121 8(m3).验证结果、改进模型对于上一个步骤中得到的用气量的函数模型y1.903 3105x21.472 2103x1.503 3101能够很好地反映用气量y与旋钮位置x的关系吗？试选择一个数据进行验证当x54时，由函数的解析式可得y0.126 3(m3)，和实验所得数据相比的差为0.1390.126 30.012 7，数值很小，说明该函数模型可以很好地反映用气量y与旋钮位置x的关系建立函数模型解决问题的框图表示 2房屋造价(元/m2)与建筑层数有关，可表示为一般造价(元/m2)乘上层数系数.根据经验数据，绘出层
8、数系数与层数n的关系，如图所示，其中2层到5层的建筑由于共用地基和层顶等原因，随层数增加沿抛物线下降，而5层8层及以上的建筑则由于防震、防风等因素需增加成本，随层数增加而增加(1)请根据所给图与表格建立随层数n增加而改变的函数关系式，并将表中数据填完整；n123456781.081.0311.081.171.26(2)某单位为建造楼房筹集资金100万元，用于支付房屋造价和土地使用权购置费，若一般造价为800元/m2，土地价为300元/亩，试利用(1)中的条件求该单位最多能建房多少平方米(精确到1 m2)解(1)由题设知，当2n5时，f(n)的图象为抛物线的一段，所以设an2bnc，将(2，1.
9、08)，(3，1.03)，(4，1)代入，得：解得 所以0.01n20.1n1.24.当5n8时，观察图形，三点似乎在同一条直线上，所以设knb，将(6，1.08)和(8，1.26)代入，得：解得所以0.09n0.54，通过验证知(7，1.17)正好在此直线上故所求函数把n5代入上式，得0.99.又由图可得n1时，1.25.将1.25，0.99填入表中的对应格里即可(表略).(2)设所建楼房占地面积为x m2，由(1)知当n5时，造价最低，此时0.99，故总建房面积为5x m2，其总造价为0.998005x300，依题意得1 000 0000.998005xx，解得5x1 262，即该单位最多
10、可建房1 262 m2.利用已有函数模型解决实际问题【例3】汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故原因的一个重要因素在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据思路点拨根据已经给出的刹车距离与车速的函
11、数关系，由刹车距离建立不等式，求出两辆车的车速范围，然后进行判断解依题意，对于甲车，有0.1x0.01x212，即x210x1 2000，解得x30或x40(不合实际意义，舍去)，这说明，甲车的速度超过30 km/h.但根据题意，刹车距离略超过12 m，由此估计甲车速度不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05x0.005x210，即x210x2 0000，解得x40或x50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知，利用待定系数法确定模型中的待定系数(3)利用该模
12、型求解实际问题3某地上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为1亿千瓦时本年度计划将电价调至0.550.75元/千瓦时，经测算，若电价调至x元/千瓦时，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x0.4)成反比例又当x0.65时，y0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元/千瓦时，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？收益用电量(实际电价成本价)解(1)y与(x0.4)成反比例，设y(k0).把x0.65，y0.8代入上式，得0.8，解得k0.2.y.即y与x之间的函数关系式为y.(2)依题意，得(x0.3)1(0.80.3)(120%).整理，得x21.1x0.30.解得x10.5，x20.6.经检验x10.5，x20.6都是方程的根又0.55x0.75，x0.6.即当电价调至0.6元/千瓦时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.