1、第 62 讲 曲线的参数方程及应用【学习目标】1.了解曲线参数方程的意义，掌握直线、圆及圆锥曲线的参数方程，会应用参数方程解决有关问题.2.掌握参数方程与普通方程的互化，会根据给出的参数，依据条件建立参数方程.【基础检测】1.若直线l1：x12t，y2kt.(t为参数)与直线l2：xs，y12s.(s为参数)垂直，则k的值是()A.1 B.1 C.2 D.2【解析】直线l1化为普通方程得y k2 x k2 2，l2化为普通方程得y2x1，k22 1，k1.B2.直线x3ty4t，(t为参数)上与点P(3，4)的距离等于 2的点的坐标是()A.(4，3)B.(4，5)或(0，1)C.(2，5)D
2、.(4，3)或(2，5)【解析】设直线x3ty4t，(t为参数)上与点P(3，4)的距离等于2的点的坐标是(3t，4t)，则有（3t3）2（4t4）2 2即t21t1，所以所求点的坐标为(4，3)或(2，5).故选D.D3.下列在曲线xsin 2ycos sin (为参数)上的点是()A.12，2 B.34，12C.(2，3)D.(1，3)B【解析】由题意，得1x1 2y 21xy2，逐一验证，得34，12 满足要求.4.直线x112ty3 3 32 t(t为参数)和圆x2y216交于A，B两点，则AB的中点坐标为()A.(3，3)B.(3，3)C.(3，3)D.32，32D【解析】消去t，得
3、直线的普通方程为3 xy2 3，设AB的中点坐标为Mx0，y0，则 3x0y02 3y0 x0 33，解得x032y0 32，故选D.5.已知直线x2ty1t(t为参数)与曲线C：24cos 30交于A，B两点，则|AB|()A.1 B.12C.22D.2D【解析】将直线化为普通方程为xy10，将曲线C化为直角坐标方程为x2y24x30，即x2 2y21，所以曲线C为以 2，0 为圆心，半径r1的圆.圆心2，0到直线xy10的距离d201121 2 22.根据d2AB22r2，解得AB 2.故D正确.【知识要点】1参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数
4、 t 的函数，即(t 为参数)，并且对于 t 的每一个允许值，由该方程组所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 之间的变数 t 叫做参变数，简称参数相对于参数方程，前面学过的直接给出曲线上的点的坐标间关系的方程，叫做曲线的普通方程在曲线的参数方程中，参数是联系变数 x，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数要明确参数的取值范围，这个范围决定了曲线的存在范围，并且两者要保持一致xf（t）yg（t）2参数方程和普通方程的互化(1)由参数方程化为普通方程_，消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三
5、角代换法等消参时应特别注意参数的取值范围对 x，y 的限制由参数方程化为普通方程一般是唯一的(2)由普通方程化为参数方程_，参数选法各种各样，所以由普通方程化为参数方程是不唯一的消去参数选参数3直线参数方程的几种形式(1)标准式：经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程为(t 为参数)，其中 t 是直线上的定 _点 M0(x0，y0)到动点 M(x，y)的_，即 t|M0M|.当点 M(x，y)在点 M0(x0，y0)的上方时，t0；当点 M(x，y)在点 M0(x0，y0)的下方时，t0；当点 M(x，y)与点 M0(x0，y0)重合时，t0.由于直线的标准参数方程中 t 具有
6、这样的几何意义，所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时，用参数方程来解决方便了很多00 x=x+tcos,y=y+tsin.0M M有向线段的数量 (2)点斜式：(t 为参数)，其中(x0，y0)表示该直线上的一点，ba表示直线的斜率当 a，b 分别表示点 M(x，y)在 x 轴正方向与 y 轴正方向的分速度时，t 就具有物理意义时间，相应的 at，bt 则表示点 M(x，y)在 x 轴正方向、y 轴正方向上相对(x0，y0)的位移00 x=x+at,y=y+bt.4圆锥曲线的参数方程(1)圆(xx0)2(yy0)2r2 的参数方程为(为参数)(2)椭圆x2a2y2b21(ab0)
7、的参数方程为(为参数)(3)双曲线x2a2y2b21 的参数方程为(为参数)(4)抛物线 y22px(p0)的参数方程为(t 为参数)00 x=x+rcos,y=y+rsin.x=acos,y=bsin.x=asec,y=btan.2x=2pt,y=2pt.一、参数方程与普通方程的互化例1将下列参数方程化为普通方程：(1)x 3k1k2，y 6k21k2，(k为参数)；(2)x1sin 2，ysin cos ，(为参数)；(3)x1t21t2，yt1t2，(t为参数).【解析】(1)两式相除，得 k y2x，将其代入得 x3 y2x1y2x2，化简得所求的普通方程是 4x2y26y0(y6).
8、(2)由(sin cos)21sin 22(1sin 2)，得 y22x.又 x1sin 20，2，得所求的普通方程为 y22x，x0，2.(3)由1t21t2 22t1t2 21，得x24y21，又x1t21t21，得所求的普通方程是 x24y21(x1).【点评】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数的关系式消参，如sin2cos21等.(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解.二、参数方程的应用例2(2015陕西)在直角坐标系
9、xOy中，直线l的参数方程为x312t，y 32 t(t为参数).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2 3sin .(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.【解析】(1)由 2 3sin，得 22 3sin，从而有 x2y22 3y，所以 x2(y 3)23.(2)设 P312t，32 t，又 C(0，3)，则|PC|312t 232 t 3 2 t212，故当 t0 时，|PC|取得最小值，此时，点 P 的直角坐标为(3，0).三、参数方程与极坐标综合例3将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的
10、2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得xx1，y2y1.由x21y211得x2(y2)21，即曲线C的方程为x2y24 1.故C的参数方程为xcos t，y2sin t(t为参数).(2)由x2y24 1，2xy20，解得x1，y0或x0，y2.不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k12，于是所求直
11、线方程为y112(x12)，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即34sin 2cos.备选题例4已知曲线C：x24 y29 1，直线l：x2t，y22t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.【解析】(1)曲线C的参数方程为x2cos，y3sin(为参数).直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d 55|4cos 3sin 6|，则|PA|dsin 302 55|5sin()6|，其中为锐角，且tan 43.当sin()1
12、时，|PA|取得最大值，最大值为22 55.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.1.选取参数时的一般原则是：(1)x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一确定x，y的值；(3)在研究与时间有关的物体运动时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.2.求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P(x，y)；(2)选择适当的参数；(3)找出x，y与参数的关系，列出解析式；(4)证明(常常省略).3.参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的
13、参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的.4.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解.5.在直线与圆和圆锥曲线位置关系问题中，涉及距离问题可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解.6.在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解.(2015 全国新课标)在直角坐标系 xOy 中，曲线C1：xtcos ，ytsin(t 为参数，t0)，其中
14、0.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin ，C3：2 3cos .(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；(2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y22y0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2y22 3x0.联立x2y22y0，x2y22 3x0，解得x0，y0或x 32，y32.所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线 C1 的极坐标方程为(R，0)，其中 0.因此 A 的极坐标为(2sin，)，B 的极坐标为(2 3cos，)
15、.所以|AB|2sin 2 3cos|4|sin3|.当 56 时，|AB|取得最大值，最大值为 4.1.若直线的参数方程为x12ty23t(t 为参数)，则直线的斜率为()A.23 B.23 C.32 D.32【解析】x12ttx12，将其代入 y23t整理可得直线的普通方程为 y32x72.所以直线的斜率为 k32.故 D 正确.D2.直线x12t，y2t(t 为参数)被圆 x2y29 截得的弦长等于()A.125 B.12 55 C.9 25 D.9 105【解析】消掉参数 t，得到普通方程，x2y30，被圆所截，圆心到直线的距离 d35，得到弦长公式，l2 r2d21255，故选 B.
16、B 3.直线 l 的参数方程是x 2ty 2t4 2(其中 t 为参数)，圆 C 的极坐标方程 2cos4，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是()A.2B.2 C.3D.2 6【解析】将圆的极坐标方程和直线 l 的参数方程转化为普通方程x 222y 2221 和 xy4 20，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 l 的距离 d5，要使切线长最小，必须直线 l 上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离 d，求出 d，由勾股定理可求切线长的最小值.D4.已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为x 3cos ysin(0)和x32t2yt(tR)，它们的交点坐标为_.【解
17、 析】由 题 意 得 两 曲 线 方 程 为 x23 y2 1(0y1，3x 3)及 x32y2，因此x23 23x1x1 或 x3(舍)，y223，y63(负值舍去)，交点坐标为1，63.1，635.已知圆 C 的圆心是直线xty1t(t 为参数)与 x轴的交点，且圆 C 与直线 xy30 相切，则圆 C的方程为.【解析】消参后直线的普通方程是 yx1，直线与 x 轴的交点是1，0，圆与直线相切，那么圆心到直线的距离等于半径，d1032 2，所以圆的标准方程是：x1 2y22.(x+1)2y22 6.在极坐标系中，直线 l：x1ty12t(t 为参数)被曲线 C：2cos 所截得的线段长为.
18、【解析】曲线 C：2cos 可以化为(x1)2y21，与直线 l：x1ty12t联立，可以得到 5t24t0，所以|t1t2|45，所以截得的线段长为 14454 55.4 557.直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程是x 3cos ，y1sin ，(为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心 C 的极坐标是_.2，6【解析】由圆 C 的参数方程是x 3cos，y1sin，(为参数)得cos x 3sin y1可得圆的标准方程为(x 3)2(y1)21，圆心坐标为(3，1)，离圆心的距离（3）2122，tan 33，由题意 6，则圆心 C 的极坐标是2，6.8.在平面
19、直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为x4cos y4sin (为参数)，直线 l 经过点 P2，2，倾斜角 3.(1)写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程；(2)设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求PA PB 的值.【解析】(1)圆的标准方程为 x2y216.直线 l 的参数方程为x2tcos3y2tsin3，即x212ty2 32 t(t 为参数).(2)把直线的方程x212ty2 32 t代入 x2y216，得212t 22 32 t 216，即 t22(31)t80，所以 t1t28，所以PA PB t1t2 8.9.已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos .以极点为平面
20、直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是x1 22 tya 22 t(t是参数).(1)写出曲线 C 的参数方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且AB 14，求 a 的值.【解析】(1)由 4cos 得：24cos，x2y24x，即(x2)2y24，所以曲线 C 的参数方程：x22cos y2sin(为参数)(2)将直线x1 22 tya 22 t代入圆的方程(x2)2y24 化简得 t2 2(a1)ta230，由根与系数的关系 t1t2 2(1a)，t1t2a23.由直线参数方程的几何意义知 AB t1t2（t1t2）24t1
21、t2 14，代入得 2a24a14 14，解得 a0 或者 a2.10.已知曲线 C 的极坐标方程是 1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为x1t2，y2 32 t(t 为参数).(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程；(2)设曲线 C 经过伸缩变换x2x，yy得到曲线 C，设曲线 C上任一点为 M(x，y)，求 x2 3y 的最小值.【解析】(1)l：3xy2 30，C：x2y21.(2)x2xyy，xx2yy，代入 C 得，C：x24 y21.设椭圆的参数方程x2cos ysin (为参数),则 x2 3y2cos 2 3sin 4sin6，则 x2 3y 的最小值为4.