1、高考总复习第（1）轮理科数学第五单元平面向量与复数第33讲 平面向量的数量积1理解和掌握平面向量的数量积及其几何意义2掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系1两向量的夹角与垂直已知两个非零向量 a、b，作OAuura，OBuuurb，则 _叫作向量 a、b 的夹角，特别地，当a 与 b 夹角为 90时，我们说 a 与 b 垂直，记作_.2向量数量积的定义已知两个非零向量 a、b，它们的夹角为，我们把数量_叫作 a 与 b 的数量积，记作 ab，即 ab_.规定 0 与任一
2、向量的数量积为_.AOB(0180)ab|a|b|cos|a|b|cos 0 3ab 的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影设 是向量 a 与 b 的夹角，则_叫作 a 在 b 方向上的投影，_作 b 在 a 方向上的投影(2)ab 的几何意义：ab 等于 a 的长度_与 b 在 a 方向上的投影 _的乘积4向量数量积的性质a、b 是两个非零向量，它们的夹角为.(1)当 a 与 b 同向时，ab_；当 a 与 b 反向时，ab_；特别地，aa_或|a|_.(2)ab0_.(3)cos _.(4)|ab|_|a|b|.|a|cos|b|cos|a|b|cos|a|b|a|b|a2|a|
3、2ab5向量数量积的运算律(1)ab_(交换律)(2)(a)b_(R)(3)(ab)c_.6向量数量积的坐标表示(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_.(2)若 a(x，y)，则 aaa2|a|2_，|a|_.(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|ABuuur|_，此时为两点间的距离公式(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_.(5)a、b 是两个非零向量，它们的夹角为，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 cos _.ba(ab)a(b)acbcx1x2y1y2x2y2x1x2y1y201两个向量 a，b 的夹角为锐角ab0 且 a，b 不共线
4、；两个向量 a，b 的夹角为钝角ab10，23)p2：ab 1(23，p3：ab 10，3)p4：ab 1(3，其中的真命题是()Ap1，p4Bp1，p3Cp2，p3Dp2，p4解：因为 a，b 都是单位向量，所以|a|b|1，abcos，因为|ab|1|ab|21a22abb21cos 120，23)，所以命题 p1 正确，p2 错误；因为|ab|1|ab|21a22abb21cos 12(3，所以命题 p4 正确，p3 错误故真命题为 p1，p4.答案：A点评：(1)求平面向量夹角的方法：定义法：利用向量积的定义可知，cos ab|a|b|，求解时应求出三个量：ab，|a|，|b|或者找出
5、这三个量之间的关系；坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 cos x1x2y1y2x21y21x22y22；解三角形法：可以把所求向量的夹角放到三角形中，利用正弦、余弦定理和三角形面积公式等进行求解(2)求夹角时，要注意：夹角的范围为0，；计算模时，要注意|a|aa的应用，它能实现在模与数量积的转化，是求距离的常用方法考点3向量数量积的综合应用【例 3】(2016天津卷)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则AFBC的值为()A.58B.18 C.14D.118 分析：首先根据平面向量的基本定
6、理将所求向量用等边三角形的边表示的向量表示出来，再利用数量积的定义求解也可建立直角坐标系，利用向量的坐标运算进行求解 解：(方法 1)如图所示，AF AD DF.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，且 DE2EF，所以 AD12 AB，DF 12 AC 14 AC 34 AC，所以 AF 12 AB 34 AC.又 BC AC AB，则 AF BC(12 AB 34 AC)(AC AB)12 AB AC 12 AB 234 AC 234 AC AB 34 AC 212 AB 214 AC AB.又|AB|AC|1，BAC60，故 AF BC 341214111218.故选 B.(方法 2)
7、以 BC 为 x 轴，BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，则 A(0，32)，B(12，0)，D(14，34)，C(12，0)，由 DE2EF，得(14，34)2(xF，yF)，即 F(18，38)，所以 AF BC(18，5 38)(1,0)18.答案：B【变式探究】3.(2017全国卷)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA(PB PC)的最小值是()A2B32C43D1解：(方法 1：解析法)建立坐标系如图所示，则 A，B，C 三点的坐标分别为 A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)设 P 点的坐标为(x，y)，则 PA(x，3y)，PB(1x
8、，y)，PC(1x，y)，所以 PA(PB PC)(x，3y)(2x，2y)2(x2y2 3y)2x2(y 32)2342(34)32.当且仅当 x0，y 32 时，PA(PB PC)取得最小值，最小值为32.(方法 2：几何法)如图所示，PB PC 2 PD(D 为 BC 的中点)，则 PA(PB PC)2 PA PD.要使 PA PD最小，则 PA与PD 方向相反，即点 P 在线段AD 上，则(2 PA PD)min2|PA|PD|，问题转化为求|PA|PD|的最大值又|PA|PD|AD|2 32 3，所以|PA|PD|2|()2PAPD(32)234，所以 PA(PB PC)min(2
9、PA PD)min23432.点评：(1)向量的数量积的综合问题，常常涉及平面向量的基本定理、向量的数量积的定义及向量的数量积的运算律等基础知识，要求有较强的运算求解能力(2)向量的数量积的计算有两条最基本的方法，其一是采用基向量法，其二是坐标法当几何图形是特殊三角形或四边形时，一般通过建立直角坐标系的方法转化为向量的坐标运算1平面向量 a 与 b 的数量积为 ab|a|b|cos，它是一个实数，而不是向量，其中 是 a 与 b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180.2计算数量积一般有三种方法：定义、坐标运算及利用运算律计算3由向量的数量积的性质有|a|aa，cos ab|a|b|，ab0ab，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题4由于向量有几何法和坐标法两种形式，它的运算也因为这两种表示方法而有两种：基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于根据问题的特点，灵活选择方法点击进入WORD链接