1、3.1 不等式的性质 最新课标 梳理不等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.教材要点要点一 两个实数大小比较1文字叙述如果ab是_，那么ab；如果ab_，那么ab；如果ab是_，那么a0a_b；ab0a_b；abb，bc_2可加性ab_abc0 _3可乘性abcbcd _acacbcacbc acbd ab0cd0 _5可乘性ab0cdb0，n an b，(nN，n2)acbdacc ac b.性质2是可逆性的，即ab a cb c.(2)注意不等式的单向性和双向性性质2是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件要
2、克服“想当然”“显然成立”的思维定势教材答疑 教材P25思考交流实例1：糖水中加糖，糖水更甜了实例2：盐水中加盐，盐水更咸了基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若ab1，则ab.()(2)a与b的差是非负实数，可表示为ab0.()(3)a，b，c为实数，在等式中，若ab，则acbc；在不等式中，若ab，则acbc.()解析：在等式中，若ab，则acbc，结论是正确的；但在不等式中，若ab，则当c0时，acbc，当c0时，acbc；当c0时，acbc2，则ab.()解析：若ac2bc2，则c20，因此c20，从而1c20，所以ac21c2bc21c2，即ab.2设Mx2，Nx1
3、，则M与N的大小关系是()AMN BMNCM0，所以MN.答案：A3已知xa0，则一定成立的不等式是()Ax2a2axa2Cx2axa2ax解析：因为xaa2；不等号两边同时乘x，则x2ax，故x2axa2.答案：B4多选题若ab0，dcbc BadbcC.1db3解析：因为ab0，c0，所以acb0，dc0，所以adbc，B正确；因为dc1c，C错误；因为ab0，所以a3b3，D正确答案：BD 题型一 比较大小自主完成1已知aR，p(a1)(a3)，q(a2)2，则p与q的大小关系为()Apq BpqCpq Dpq解析：由题意，p(a1)(a3)，q(a2)2，则pq(a1)(a3)(a2)
4、2a24a3(a24a4)10，所以pq0，即p0.所以2x2y2x2xy.状元随笔 作差后，常见的变形方向有：将差变形为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式；将差变为几个式子的积或商，而各个式子的符号是可以确定的；当差是某个字母的二次三项式时，常用判别式或配方法判断符号题型二 不等式的性质及应用师生共研例1(1)已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是()A.若ab，则ac2bc2B若acbc，则abC若a3b3且ab1bD若a2b2且ab0，则1ab，则ac2bc2(错)，若c0，则A不成立；B中，若 ac bc，则ab(错)，若cb3，且ab 1b(对)，若a3b3且ab0bb2，且a
5、b0，则1a1b(错)，若a0，bb，则下列不等式成立的是()Aac2bc2B.1a2bc Deabc2不成立，A错误；对B，当a1，b2时，1a2 b，两边同时减去c有acbc成立，故C正确；对D，因为abab，又yex为增函数故eaeb成立故D正确故选CD.答案：(2)CD方法归纳(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算跟踪训练1(1)已知实数0aaa2Baa21aCa21aa D.1aa2a解析：(1)0ab0，则下列不等式成
6、立的是()A.1ab1a1Ca1bb1a Da1ab1b解析：(2)ab0，由反比例函数y1x 的性质可知1a1b，故A正确；ba，且1ab1a，即C正确；对于D，ab0，且1ab0，ab0，a(1a)0，aabbab，a(1b)b(1a)，1b1aba，故B错误综上可得，AC正确故选AC.答案：(2)AC题型三 利用不等式的性质证明不等式师生共研例2(1)已知ab0，ccb.(2)求证：a2b2c2abbcca.(a，b，cR)证明：(1)ab0，ab0，1ab0，a 1abb 1ab，即1b1a，又ccb.(2)2(a2b2c2)2(abbcca)(a2b22ab)(b2c22bc)(c2
7、a22ca)(ab)2(bc)2(ca)2，又a，b，cR，(ab)20，(bc)20，(ca)20，(ab)2(bc)2(ca)20，当且仅当abc时取“”2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca.方法归纳(1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证(2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法再判断最终的符号，完成证明(3)用作差法证明不等式与用作差法比较两个数大小的原理一样变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件跟踪
8、训练2(1)已知ab0，cd0，e ebd.(2)已知x，yR，求证：x22y22xy2y1.证明：(1)(法一)：cdd0，又ab0，acbd0，上式两边同乘1acbd得0 1ac 1bd又e eac ebd.即 eac ebd.(法二)eac ebdebdacacbdebacdacbdcdd0又ab0，ac0，bd0，ba0，cd0e0，eac ebd.(2)x22y2(2xy2y1)x22xyy2y22y1(xy)2(y1)20，x22y22xy2y1.易错辨析 混淆不等式的性质出错例3 已知12a60,15b36，则ab的取值范围是_解析：15b36，1361b 115，又12a60，1236ab6015，即13ab4.答案：13ab4易错警示易错原因纠错心得 混淆不等式的性质，直接使用同向不等式相除，本题得到错误答案：45ab53.学习过的不等式的性质中没有同向不等式相除这一性质，要转化为不等式相乘来解决.
