1、第2课时 充要条件 教材要点要点 充要条件一般地，如果 pq，且 qp，那么称_是_的充分且必要条件，简称_是_的充要条件，记作_pqpqpq状元随笔 (1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若pq，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件若pq，则p是q的充要条件若pq，且q p，则称p是q的充分不必要条件若p q，且qp，则称p是q的必要不充分条件若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件(2)从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即Ax|p(x)，Bx|q(x)，则若A B，则p是q的充分条件若B A，则p是q的必
2、要条件若AB，则p是q的充要条件若A B且B A，即A B，则p是q的充分不必要条件若B A且A B，即B A，则p是q的必要不充分条件若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件.若A B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A B，则p，q互为充要条件若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 (3)“”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即pq，qs，则有ps，即p是s的充要条件教材答疑教材P18思考交流充要条件命题：p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例，p是q的充
3、要条件基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立()(2)证明：“p的充要条件是q”，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性()(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件()(4)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件()2“x1”是“x22x10”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：x1时，x22x10成立，故是充分的，又当x22x10时，即(x1)20，x1故是必要的，因此是充要条件答案：A3已知A，B是非空集合，命题p：ABB，命题q：A B，则
4、p是q的()A充要条件B充分不必要条件C既不充分也不必要条件 D必要不充分条件解析：由ABB，得A B或AB；反之，由A B，得ABB，所以p是q的必要不充分条件故选D.答案：D4函数yx2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是_解析：当m2时，yx22x1，其图象关于直线x1对称，反之也成立，所以函数yx2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.答案：2题型一 充要条件的判断自主完成1设全集为U，集合M、N是U的两个非空子集，则MN是(UM)(UN)U的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：在Venn图中分别画出UM和UN表示的阴影部分，可以验证
5、MN(UM)(UN)U；也可以由(UM)(UN)U(MN)，则MN与(UM)(UN)U等价，所以正确选项为C.答案：C2已知a，b是实数，则“a0且b0”是“ab0且ab0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：“a0且b0”ab0且ab0，反之，ab0且ab0a0且b0.故选C.答案：C3从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空(1)“x210”是“|x|10”的_；(2)“x5”是“x3”的_解析：(1)设Ax|x2101,1，Bx|x|101,1，所以AB，即“x210”是“|x|10”的充要条件
6、(2)设Ax|x5，Bx|x3，因为A B，所以“x5”是“x3”的必要不充分条件答案：(1)充要条件(2)必要不充分条件方法归纳判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是不是q的充分必要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立若pq成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若qp成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断pq及qp的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的此外，对于较复杂的关系，常用
7、，等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度题型二 充要条件的证明师生共研例1 求证：关于x的方程ax2bxc0(a0)有一正根和一负根的充要条件是ac0，x1x2ca0，ac0.充分性：由ac0及x1x2ca0，方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2bxc0(a0)有一正根和一负根综上可知，关于x的方程ax2bxc0(a0)有一正根和一负根的充要条件是acy，求证：1x0.证明：证法一：充分性：由xy0及xy，得 xxy yxy，即1x1y.必要性：由1x1y，得1x1y0，即yxxy y，所以yx0.所以1x0.证法二：1x1y1x1y0yxxy
8、yyx0，故由yxxy 0.所以1x0，即1x0.题型三 充要条件的探求师生共研例2 求关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件解析：当a0时，符合要求当a0时，显然方程没有零根，若方程有两个异号的实根，则由根与系数的关系可知a0，2a0，解得0a1.综上所述，若方程ax22x10至少有一个负实根，则a1.反之，若a1，则方程ax22x10至少有一个负实根，因此，关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.方法归纳 探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证跟踪训练2 求方程x2kx10与x2xk0有一个公共实根的充要条件解析：x2kx10，x2xk0 x2x2xx10，x2xk01x30，x2xk0 x1，k2.所以两方程有一公共实根的充要条件为k2.