1、上海市静安区2021届高三数学下学期4月教学质量检测（二模）试题一. 填空题（本大题共8题，每题6分，共48分）1的展开式中项的系数是 11211222正视图俯视图侧视图第4题图2设变量x，y满足约束条件则的最大值为 3. 已知奇函数的周期为2，且当时，则的值为 4一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 5投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为和，则复数 为虚数的概率为 6某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为
2、 米7如图，在直角梯形ABCD中，为梯形的腰上的动点，则的最小值为 8已知桶中盛有2升水，桶中盛有1升水现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；若如此继续操作下去，则桶中的水比桶中的水多 升二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）9函数的反函数为 （ ）A; B; C; D10某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示年薪（万元）13595807060524031人数112134112该公司雇员年薪的标准差约为 （ ）A24.5（万元）; B25.5（万元）; C26.5（万元）; D27.5（万
3、元）11在1,2,3,4,5,6,7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为 （ ）A204; B260; C384; D480三、解答题（本大题共有5题，共84分）12（本题满分14分，第1小题6分，第2小题满分8分）第12题图ABEDCO已知正方形的边长为，为两条对角线的交点，如图所示，将RtBED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足（1）求四面体的体积;（2）请计算：直线与所成角的大小;直线与平面所成的角的大小13（本题满分14分；第1小题7分，第2小题7分）设(常
4、数)，且已知是方程的根（1）求函数的值域;（2）设常数，解关于x的不等式：14（本题满分16分；第1小题7分，第2小题9分）已知椭圆的左焦点为，为坐标原点（1）求过点、，并且与抛物线的准线相切的圆的方程;（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围15（本题满分18分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）将正奇数1,3,5,7,按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍设是位于这个数阵中第行（从上往下数）、第列（从左往右数）的数第1行 1第2行 3 5第3行 7
5、9 11 13 第15题图（1）设，求数列的通项公式;（2）若，求、的值;（3）若记这个数阵中第行各数的和为，数列的前n项和为，求极限的值16（本题满分22分，第1小题7分，第2小题7分，第3小题8分）如图所示，在平面直角坐标系中，点绕坐标原点旋转角至点（1）试证明点的旋转坐标公式：（2）设，点绕坐标原点旋转角至点，点再绕坐标原点旋转角至点，且直线的斜率，求角的值;xyO第16题图（3）试证明方程的曲线是双曲线，并求其焦点坐标静安区2020学年第二学期教学质量检测高三数学试卷答案与评分参考标准一. 170； 23； 31； 4；ABEDCOzxy5. ； 65； 75； 8. 二、9B； 10
6、B； 11C12解：（1）由已知，有， （2分）又由已知，有 由可得是三棱锥的高， （2分）所以， （2分）（2）分别以、为坐标轴建立空间直角坐标系 （1分）则有，,，（1分），设与所成角的大小为，则故，与所成角的大小为 （3分）设为平面的一个法向量，与所在的直线所成的角为,则即令，得.故，与平面所成的角为. （3分）注：用几何的方法同样给分。13解：（1）将代入方程，解得， 故 （2分）令，则 （4分）故，的值域为 （1分）（2）()，()， 即，() （3分）1） 当时，不等式的解集为； （1分）2） 当时，不等式的解集为； （1分）3） 当时，不等式的解集为 （1分）4） 当时，不等式的
7、解集为 （1分）14解：抛物线的准线为 （1分）圆过点、，圆心在直线上设，则圆的半径为 （2分）由，得解得 （2分）于是，所求圆的方程为 （1分）（2）设直线的方程为，代入，整理得 （2分）因为直线过椭圆的左焦点，所以方程有两个不相等的实根记，中点，则， （1分）直线的垂直平分线的方程为 （2分）令，则 （2分）因为，所以故，点的横坐标的取值范围 （2分）15解：（1）由已知，这个数阵的第n行有个数，所以，前行一共有个数 （6分）（用数学归纳法证明同样给分）（2）令，满足不等式的最大整数为10（3分）解得 （3分）所以， （3）由题意， （2分）， （2分） （2分）16解：（1）设将x轴正半
8、轴绕坐标原点旋转角至点， （1分）则，由任意角的三角比定义，有和 （2分）所以， （2分）将代入，得 （2分）（2）方法1：设点，的坐标分别为，由点的旋转坐标公式，有与 （2分）由直线的斜率，得， （2分），或或， （2分），、 （1分）方法2：由三角比的定义，可得点设点的坐标分别为，即；同理可得的坐标为， 以下与解法1相同（3）设为方程的曲线上任意一点，将点绕坐标原点旋转角至点则， 可解得 （1分）注：以上这个反解可以省略，后面的方程不同，但不影响证明结论将代入方程，得，整理，得 令，可解得，是该方程的解， （2分）所以，将方程的曲线按顺时针旋转，所得曲线的方程为： 故，曲线是以和为焦点的双曲线 （2分）又因为双曲线是由曲线绕坐标原点旋转而得到的，所以曲线也是双曲线（1分）将点按逆时针旋转，得到点，所以，双曲线的焦点坐标为与 （2分）
