1、第6讲双曲线考纲解读1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)(重点)2掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点预测2021年高考会考查：双曲线定义的应用与标准方程的求解；渐近线方程与离心率的求解试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双
2、曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)当ac时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形续表标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴实轴：|A1A2|2a；虚轴：|B1B2|2ba，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3必记结论(1)焦点到渐近
3、线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2y2(0)(3)等轴双曲线离心率e两条渐近线yx相互垂直1概念辨析(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(4)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)设双曲线C的两个焦点分别为(2,0)，(2,0)，一个顶点是(，0)，则C的方程为_答案1
4、解析由题意，得双曲线C的焦点在x轴上，设其方程为1(a0，b0)，由已知得a，c2，所以b2c2a22，b，所以C的方程为1.(2)设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|_.答案17解析由题意知|PF1|90)的离心率为，则a_.答案4解析由已知，b24，e，即2，又因为a2b2c2，所以，a216，a4.(4)设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析由已知，得2b2,2c2，所以b1，c，所以a，所以双曲线1的渐近线方程为yx，即yx.题型一双曲线的定义及应用 1若双曲线1的左焦点为F，点P是双曲线
5、右支上的动点，A(1,4)，则|PF|PA|的最小值是()A8 B9 C10 D12答案B解析由题意知，双曲线1的左焦点F的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号|PF|PA|的最小值为9.故选B.2已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.答案解析由已知条件及双曲线的定义得|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，则cosF1PF2.条件探究将本例中的条件“|PF1|2|PF2
6、|”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积为_答案2解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以42(2)2|PF1|PF2|.|PF1|PF2|8，SF1PF2|PF1|PF2|sin602.1利用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的
7、转化应用2利用焦点三角形需注意的问题在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将|PF1|PF2|2a两边平方，建立与|PF1|PF2|有关的方程见举例说明2及条件探究 1设P为双曲线x21右支上一点，M，N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，设|PM|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|mn|()A4 B5 C6 D7答案C解析易知双曲线的两焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，所以|PM|PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)(|PF1|PF2|)35，同理
8、|PM|PN|的最小值为(|PF1|2)(|PF2|1)(|PF1|PF2|)31，所以|mn|6.2(2020广东普宁市华侨中学月考)过双曲线x21的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|4，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是_答案12解析由双曲线的定义知，|PF2|PF1|2a2，|QF2|QF1|2a2，所以|PF2|QF2|(|PF1|QF1|)4，又|PQ|4，所以|PF2|QF2|44，|PF2|QF2|8，所以PF2Q的周长是|PF2|QF2|PQ|12.题型二双曲线的标准方程及应用 1已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22
9、内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1(x )B.1(x)C.1(x )D.1(x)答案A解析设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|r，|MC2|r，所以|MC1|MC2|22a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a2的双曲线的右支上，即a，c4b216214，故其标准方程为1(x)条件探究将本例中的条件改为“动圆M与圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29都外切”，则动圆圆心M的轨迹方程为_答案x21(x1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|
10、，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)与已知双曲线x24y24有共同渐近线且经过点(2,2)；(3)经过两点P(3,2)和Q(6，7)解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知，2b12，e，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(
11、2)由已知，可设双曲线方程为x24y2(0)，因为此双曲线经过点(2,2)，所以22422，解得12，所以双曲线方程为x24y212，即1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线的标准方程为1.求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值见举例说明1.(2)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值见举例说明2(1)与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)见举例说明2(2)注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论也可以设双曲线方程为m
12、x2ny21(mn0)求解见举例说明2(3) 1(2019昆明模拟)已知双曲线C的一个焦点坐标为(，0)，渐近线方程为yx，则C的方程是()Ax21 B.y21C.x21 Dy21答案B解析因为双曲线C的一个焦点坐标为(，0)，所以c，又因为双曲线C的渐近线方程为yx，所以有ab，c，而c，所以解得a，b1，因此双曲线C的方程为y21.2设F1和F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若F1，F2，P(0,2b)为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过点Q(，)，则该双曲线的方程为()Ax21 B.1C.1 D.1答案D解析F1和F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，F1，F2，P(
13、0,2b)构成正三角形，2bc，即有3c24b23(a2b2)，b23a2.双曲线1过点Q(，)，1，解得a24，b212，双曲线的方程为1.故选D.题型三双曲线的几何性质 角度1双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点及范围问题1已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析不妨令F1为双曲线的左焦点，则F2为右焦点，由题意可知a22，b21，c23，F1(，0)，F2(，0)，则(x0)(x0)(y0)(y0)xy3.又知y1，x22y，3y10.y00，b0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长
14、等于_答案8解析双曲线C：1的渐近线方程为0，即axby0，因为焦点(0，c)到直线axby0的距离为3，所以3，又a2b2c2，所以b3，又因为2c10，c5，所以a4，所以C的实轴长为8.角度2与双曲线渐近线有关的问题3(2019衡水模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2y2a2的切线，交双曲线右支于点M，若F1MF245，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x答案A解析如图，作OAF1M于点A，F2BF1M于点B，因为F1M与圆x2y2a2相切，F1MF245，所以|OA|a，|F2B|BM|2a，|F2M|2a，|F1B|2b.又
15、点M在双曲线上，所以|F1M|F2M|2a2b2a2a.整理，得ba.所以.所以双曲线的渐近线方程为yx.4(2019湖北四地七校联考)已知直线x4与双曲线C：y21的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若ab(a，bR，O为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是()Aa2b2 Ba2b2Ca2b2 Da2b2答案B解析因为双曲线C：y21的渐近线为y，与直线x4交于A(4,2)，B(4，2)，设P(x，y)，则(x，y)，(4,2)，(4，2)，因为ab，所以x4a4b，y2a2b，由于点P(x，y)在双曲线上，故(2a2b)21，解得ab，则a2b22(当且仅当a2b2且ab时取
16、“”)故选B.角度3与双曲线离心率有关的问题5(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_答案2解析解法一：由，得A为F1B的中点又O为F1F2的中点，OABF2.又0，F1BF290.OF2OB，OBF2OF2B.又F1OABOF2，F1OAOF2B，BOF2OF2BOBF2，OBF2为等边三角形如图1所示，不妨设B为.点B在直线yx上，离心率e2.解法二：0，F1BF290.在RtF1BF2中，O为F1F2的中点，|OF2|OB|c.如图2，作BHx轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得，
17、且|BH|2|OH|2|OB|2c2，|BH|b，|OH|a，B(a，b)，F2(c,0)又，A为F1B的中点OAF2B，c2a，离心率e2.1与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解见举例说明1.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中0等来解决2与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2c2a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e1.(2)双曲线1(a0，b0)的渐近线是令0，即得两渐近线方程0.(3)渐
18、近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答 1(2020潍坊高三月考)双曲线C：(0)，当变化时，以下说法正确的是()A焦点坐标不变 B顶点坐标不变C渐近线不变 D离心率不变答案C解析当0时，双曲线的焦点和顶点在x轴上，当0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，若2，则双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案B解析由题意，知|F2A|b，又2，则|AB|，|OA|a，所以a2，得2a2c2a2，即3a2c2，e23，从而e.故选B.3已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支
19、上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是()ABC(1,2 D，答案B解析由双曲线定义，知|PF1|PF2|2a，结合|PF1|4|PF2|，得|PF2|，从而ca，得c，所以e，又双曲线的离心率大于1，所以双曲线离心率的取值范围为.题型四直线与双曲线的综合问题 1过双曲线M：x21的左焦点F作圆C：x2(y3)2的切线，此切线与M的左支、右支分别交于A，B两点，则线段AB的中点到x轴的距离为()A2 B3 C4 D5答案B解析由题意知，切线过双曲线的左焦点F(2,0)，且切线斜率存在，不妨设切线方程为y0k(x2)，易知，解得k1或k.当k时，切线不与双曲线M的右支相交，故舍
20、去，所以切线方程为yx2，与双曲线方程联立，消元得2y212y90，所以y1y26，即线段AB中点的纵坐标为3，所以线段AB的中点到x轴的距离为3.2已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20，所以解得k|x2|时，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时，SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.所以
21、SOAB|x1x2|，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2)2，即28，解得k0或k.又因为k0)的左、右焦点分别为F1，F2，若M是双曲线C上位于第四象限的任意一点，直线l是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQl于点Q，且|MQ|MF1|的最小值为3，则双曲线C的通径长为_答案2解析如图所示，连接MF2，由双曲线的定义知|MF1|MF2|2a，|MQ|MF1|MF2|MQ|2a|F2Q|2a，当且仅当Q，M，F2三点共线时，|MQ|MF1|取得最小值3.此时，F2(c,0)到直线l：yx的距离|F2Q|，2a32a3a1，由定义知通径长为2.组基础关1(2019唐山统考)“k9”
22、是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析方程1表示双曲线，(25k)(k9)0，k25，“k9”是“方程1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2(2019浙江高考)渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是()A. B1 C. D2答案C解析由题意可得1，e .故选C.3双曲线9x216y21的焦点坐标为()A BC(5,0) D(0，5)答案A解析将双曲线的方程化为标准形式为1，所以c2，所以c，所以焦点坐标为.4设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线
23、C2的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1|PF2|80)的两条渐近线均与圆C：x2y24x30相切，则该双曲线的实轴长为()A3 B6 C9 D12答案B解析圆C的标准方程为(x2)2y21，所以圆心坐标为C(2,0)，半径r1.双曲线的渐近线为yx，不妨取yx，即bxay0，因为渐近线与圆C相切，所以圆心到渐近线的距离d1，所以3b2a2.由1，得b23，则a29，所以2a6.故选B.6(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2
24、y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C2 D.答案A解析设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得22a2，故，即e.故选A.7已知双曲线C：x21，经过点M(2,1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为()A8xy150 B8xy170C4xy90 D4xy70答案A解析设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减得4(x1x2
25、)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为M(2，1)是线段AB的中点，所以x1x24，y1y22.所以16(x1x2)2(y1y2)0，所以kAB8，故直线l的方程为y18(x2)，即8xy150.8(2019东北三省四市教研联合体模拟)已知矩形ABCD，AB12，BC5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为_答案解析解法一：不妨设双曲线的方程为1(a0，b0)，则c6.如图1，在1中，令x6，得y2b2，即b225.由解得所以a4，所以离心率e.解法二：如图2，不妨设双曲线的方程为1(a0，b0)，易知AC13.由双曲线的定义可知2a|AC|BC|8，即a4.又c|AB|6
26、，所以离心率e.9(2020武汉摸底)已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_答案2解析由题意可知A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)，(2x，y)，x2x2y2x2x23(x21)4x2x5.因为x1，函数f(x)4x2x5的图象的对称轴为x，所以当x1时，取得最小值2.10P是双曲线1右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则PF1F2的内切圆圆心的横坐标是_答案a解析点P是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a，若设PF1F2的内切圆圆心在x轴上的投影为A(x,0)，则该点也是内切
27、圆与x轴的切点设B，C分别为内切圆与PF1，PF2的切点由切线长定理，则有|PF1|PF2|(|PB|BF1|)(|PC|CF2|)|BF1|CF2|AF1|F2A|(cx)(cx)2x2a，所以xa.所以内切圆圆心的横坐标为a.组能力关1(2019厦门一模)已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|2，ABF的面积为8，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCy2x Dyx答案B解析设双曲线的另一个焦点为F，由OAOBOFOFc，知圆的方程为x2y2c2，点F(c,0)到直线yx(即bxa
28、y0)的距离为b，所以SABF2cb8，即bc8.由得y，所以|MN|2，所以b2c，所以b2，c4，所以a2，所以C的渐近线方程为yx.2(2019河南六市第二次联考)已知直线y2b与双曲线1(a0，b0)的斜率为正的渐近线交于点A，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若tanAF2F1，则双曲线的离心率为()A. B2C4或 D4答案D解析由得点A(2a,2b)，所以tanAF2F1.所以4b215(4a24acc2)，即4(c2a2)15(4a24acc2)，即64a260ac11c20，所以11e260e640.解得e4或e.经检验，当e时，tanAF2F1，不符合题意，所以双曲线的离
29、心率为4.3过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线l有()A1条 B2条 C3条 D4条答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x，由得y2，|AB|y1y2|4满足题意当直线l的斜率存在时，其方程为yk(x)，由得(2k2)x22k2x3k220.当2k20时，不符合题意，当2k20时，x1x2，x1x2，|AB|4，解得k.综上可知，这样的直线有3条4(2019成都七中高三上学期入学考试)若双曲线1(a0，b0)上存在点P与右焦点F关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案D解析过右
30、焦点F且与渐近线垂直的直线方程为y(xc)，不妨取直线y(xc)设渐近线yx与直线y(xc)的交点为M.联立解得x故点M的坐标为.由中点坐标公式，得点P的坐标为.将其代入双曲线的方程，得1，化简，得c25a2，由此，得e.5已知等腰三角形ABC的底边端点A，B在双曲线1的右支上，顶点C在x轴上，且AB不垂直于x轴，则顶点C的横坐标t的取值范围是_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x0.根据题意，得两式相减得(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0，于是x0(x1x2)2y0(y1y2)0，即kAB.又kMC，由kMCkAB1，得x02(x
31、0t)0，即t.6已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF的周长最小时，该三角形的面积为_答案12解析如图，设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x21，可知a1，c3，故F(3,0)，F1(3,0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长为|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15为定值，所以当|AP|PF1|最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所
32、以SAPFSAF1FSPF1F666212.7(2020济南摸底)已知双曲线E：1(a0，b0)的一条渐近线的方程是2xy0，则双曲线E的离心率e_；若双曲线E的实轴长为2，过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C：x2y22x4ym0相切，则实数m的取值范围是_答案3(3,5)解析因为双曲线E的一条渐近线的方程是2xy0，所以2，所以e 3.又因为双曲线E的实轴长为2，所以2a2，即a1，所以c3，F(3，0)由题意得右焦点F在圆C外，所以需满足条件解得3m0，b0)，则由题意得解得故双曲线的方程是3x2y21.(2)联立得(3k2)x22kx20，由0且3k20，得k0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解(1)由题意，知a2，一条渐近线为yx，即bx2y0，.b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212.由t，得(16，12)(4t,3t)，t4，点D的坐标为(4，3)
