1、第5讲椭圆考纲解读1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)(重点)2掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容预测2021年将会考查：椭圆标准方程的求解；直线与椭圆位置关系的应用；求解与椭圆性质相关的问题试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.1.椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫
2、做焦距(2)集合语言：PM|MF1|MF2|2a，且2a|F1F2|，|F1F2|2c，其中ac0，且a，c为常数注：当2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2ab0)1(ab0)图形性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点A1(a,0)，A2(a,0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b,0)，B2(b,0)轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b焦距|F1F2|2c离心率e且e(0
3、,1)a，b，c的关系c2a2b23直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2BxC0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为：(1)0直线与椭圆相交；(2)0直线与椭圆相切；(3)b0)上任意一点P(x，y)，则当x0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当xa时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处(2)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.1概念辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)方程mx2ny21(m0，n0且mn)表示的曲线是椭圆()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a
4、2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)椭圆1的离心率是()A. B. C. D.答案B解析由已知得a3，b2，所以c，离心率e.(2)已知椭圆C：1(ab0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由题意，得，2a6，解得a3，c1，则b，所以椭圆C的方程为1.故选B.(3)若方程1表示椭圆，则m的取值范围是_答案2m6且m4解析方程1表示椭圆解得2m|AB|，所以点P的轨迹是以A(0，7)，B(0,7)为焦点，长轴长为16
5、的椭圆显然a8，c7，故b2a2c215，所以动点P的轨迹方程为1.题型一椭圆的定义及应用 1过椭圆y21的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则ABF2的周长为()A8 B4 C4 D2答案A解析因为椭圆为y21，所以椭圆的半长轴a2，由椭圆的定义可得AF1AF22a4，且BF1BF22a4，所以ABF2的周长为ABAF2BF2(AF1AF2)(BF1BF2)4a8.2在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，1)，则|PA|PB|的最大值为()A5 B4 C3 D2答案A解析如图，椭圆1，焦点坐标为B(0，1)和B(0,1)，连接PB，A
6、B，根据椭圆的定义，得|PB|PB|2a4，可得|PB|4|PB|，因此|PA|PB|PA|(4|PB|)4(|PA|PB|)|PA|PB|AB|，|PA|PB|4|AB|415.当且仅当点P在AB的延长线上时，等号成立综上所述，可得|PA|PB|的最大值为5.3(2019九江模拟)F1，F2是椭圆1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为()A7 B. C. D.答案C解析由题意，得a3，b，c，|AF1|AF2|6.|AF2|6|AF1|.在AF1F2中，|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos45|AF1|24|AF1|8，(6|AF
7、1|)2|AF1|24|AF1|8，解得|AF1|，AF1F2的面积S2.利用定义解焦点三角形问题及求最值的方法解焦点三角形问题利用定义求焦点三角形的周长和面积解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理其中|PF1|PF2|2a两边平方是常用技巧见举例说明3求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|PF2|的最值；利用定义|PF1|PF2|2a转化或变形，借助三角形性质求最值见举例说明2 1如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆
8、 B双曲线C抛物线 D圆答案A解析由题意得|PF|MP|，所以|PO|PF|PO|MP|MO|OF|，即点P到两定点O，F的距离之和为常数(圆的半径)，且此常数大于两定点的距离，所以点P的轨迹是椭圆2(2019安徽皖江模拟)已知F1，F2是长轴长为4的椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，则PF1F2面积的最大值为_答案2解析解法一：PF1F2的面积为|PF1|PF2|sinF1PF22a2.又2a4，a24，PF1F2面积的最大值为2.解法二：由题意可知2a4，解得a2.当P点到F1F2距离最大时，SPF1F2最大，此时P为短轴端点，SPF1F22cbbc.又a2b2c24，bc
9、2，当bc时，PF1F2面积最大，为2.题型二椭圆的标准方程角度1定义法求椭圆的标准方程1已知A，B是圆2y24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为_答案x21解析如图，由题意知|PA|PB|，|PF|BP|2.所以|PA|PF|2且|PA|PF|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a1，c，b2.所以动点P的轨迹方程为x21.角度2待定系数法求椭圆的标准方程2已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_答案1解析设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn)由已知得解得m，n，所以椭圆方程为1.1定义法求椭圆的标
10、准方程根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程见举例说明1.其中常用的关系有：(1)b2a2c2；(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.2待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为mx2ny21(m0，n0，mn)可简记为“先定型，再定量”见举例说明2. 1与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_答案1解析设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，所以点P
11、的轨迹是以C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，点P的轨迹方程为1.2(2019武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F2F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为_答案1解析椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，可设椭圆方程为1(ab0)，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，又a2b2c2，a2，b，c，椭圆方程为1.题型三椭圆的几何性质1已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A(3,0) B(4,0)C(10,0) D
12、(5,0)答案D解析由已知得，椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，故c3，又因为2b8，b4，所以a2b2c216925.故a5.所以椭圆的左顶点为(5,0)2已知F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，若ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是()A(0，1) B(1,1)C(0，1) D(1,1)答案B解析F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，F1(c,0)，F2(c,0)，A，B，ABF2是锐角三角形，AF2F145，tanAF2F11，1，整理，得b22ac，a2c
13、20，解得e1或e1(舍去)，0eb0)和直线l：1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.答案A解析直线l的斜率为，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以，又b2c2a22c2a2c2a2，所以e.3若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D8答案C解析由椭圆1，得F(1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)(2x2)，则x2xy2x2x3x2x3(x2)22，2x2，当且仅当x2时，取得最大值6.题型四直线与椭圆的综合问题 角度1直线与椭圆的位置关系1已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试
14、问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理，得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点角
15、度2点差法解中点弦问题2焦点是F(0,5)，并截直线y2x1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为_答案1解析设所求的椭圆方程为1(ab0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意，可得弦AB的中点坐标为，且，.将A，B两点坐标代入椭圆方程，得两式相减并化简，得23，所以a23b2，又c2a2b250，所以a275，b225，故所求椭圆的标准方程为1.角度3弦长问题3已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m2
16、1)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知，5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB| .所以当m0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为yx.角度4综合计算问题4(2019天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1
17、.所以椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM,0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以直线PB的斜率为或.1直线与椭圆位置关系的判定方法(1)代数法联立直线与椭圆方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标见举例说明1.(2)几何法画出直线与椭圆的图
18、象，根据图象判断公共点个数2“点差法”的四步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：3中点弦的重要结论AB为椭圆1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)(1)斜率：k.见举例说明2.(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.4直线与椭圆相交的弦长公式(1)若直线ykxm与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.见举例说明3.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.1若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1 Bm0C0m0且m
19、5，综上知m的取值范围是m1且m5.2直线yxm被椭圆2x2y22截得的线段的中点的横坐标为，则中点的纵坐标为_答案解析解法一：由消去y并整理得3x22mxm220，设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，解得m.由截得的线段的中点在直线yx上，得中点的纵坐标y.解法二：设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2xy2,2xy2.两式相减得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.把1，x1x2代入上式，得，则中点的纵坐标为.3(2019武威六中模拟)已知直线l：ykx2与椭圆C：1交于A，B两点，直线l1与直线l2：x2y40交于点M
20、.(1)证明：直线l2与椭圆C相切；(2)设线段AB的中点为N，且|AB|MN|，求直线l1的方程解(1)证明：由消去x整理得y22y10，440，l2与C相切(2)由得M的坐标为(0,2)由消去y整理得(14k2)x216kx80，因为直线l1与椭圆交于A，B两点，所以(16k)232(14k2)128k2320，解得k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，则x1x2，x1x2，所以x0.|AB|MN|，即|x1x2|x00|， |x0|，即，解得k2，满足k2.k，直线l1的方程为yx2.组基础关1已知椭圆mx23y26m0的一个焦点的坐标为(0,2)，则m的值为()
21、A1 B3 C5 D8答案C解析由mx23y26m0，得1.因为椭圆的一个焦点的坐标为(0,2)，所以2m64，解得m5.2(2019邯郸模拟)如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析由题2b16.4,2a20.5，则，则离心率e.3如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A(6，2)B(3，)C(6，2)(3，)D(6，3)(2，)答案C解析由题意，得解得所以6a3.4过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案B解析由题意知椭圆的右焦点F
22、的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y2x2.联立解得交点(0，2)，SOAB|OF|yAyB|1.故选B.5如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|且|PF|4，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析设F为椭圆的右焦点，连接PF，在POF中，由余弦定理，得cosPOF，则|PF|8，由椭圆定义，知2a4812，所以a6，又c2，所以b216.故椭圆C的方程为1.6已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是()A. B. C. D.答案C解析设直线xy50与椭圆1相交
23、于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(4,1)，所以x1x28，y1y22.易知直线AB的斜率k1.两式相减得，0，所以，所以，于是椭圆的离心率e .故选C.7(2020成都一诊)已知点M(1,0)和N(1,0)，若某直线上存在点P，使得|PM|PN|4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：x2y60；xy0；2xy10；xy30.其中是“椭型直线”的是()A B C D答案C解析由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程为1.对于，把x2y60代入1，整理得2y29y120，由(9)24212150，知2xy10是“椭型直线”；对于，把xy30代入1，
24、整理得7x224x240，由(24)24724b0)由离心率e可得a25c2，所以b24c2，故椭圆的方程为1，将P(5,4)代入可得c29，故椭圆的方程为1.9已知椭圆1的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|的值为_答案解析由题意知，F(1,0)直线l的倾斜角为，斜率k1.直线l的方程为yx1.代入椭圆方程，得9x210x150.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|.10已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，若直线PF1的斜率为，则该椭圆的离心率为_答案解析因为点P在椭圆上，且P
25、F2垂直于x轴，所以点P的坐标为.又因为直线PF1的斜率为，所以在RtPF1F2中，即.所以b22ac.(a2c2)2ac，(1e2)2e，整理得e22e0，又0eb0)的下、上焦点分别为F1，F2，直线l：ykx1过椭圆C的焦点F2，与椭圆交于A，B两点，若点A到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍，则k2_.答案解析直线l过定点(0,1)，即F2为(0,1)，由于，a2b2c2，故a，b1，则椭圆C的方程为x21，由得(k22)x22kx10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由点A到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍，得x12x2，代入x1x2，解得x2，x1，代入x
26、1x2，解得k2.3(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_答案(3，)解析设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x4)2y264上因为点M在椭圆1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)4(2020厦门摸底)已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点为(，0)，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线yx相交于P，Q两点，且AA0，O3O，则椭圆C的标准方程为_，圆A的标准方程为_答案y21(x2)2y2解析如图，设T为线段PQ的中点，连接AT，则ATPQ
27、.AA0，即APAQ，|AT|PQ|.又O3O，|OT|PQ|.，即.由已知得焦半距c，a24，b21，故椭圆C的方程为y21.又|AT|2|OT|24，|AT|24|AT|24，|AT|，r|AP|.圆A的方程为(x2)2y2.5已知椭圆C：1(ab0)，e，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB中点的横坐标为，且(其中1)(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数的值解(1)由椭圆的焦距为2，知c1，又e，a2，故b2a2c23，椭圆C的标准方程为1.(2)由，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)若直线ABx轴，则x1x21，不符合题意
28、；当AB所在直线l的斜率k存在时，设l的方程为yk(x1)由消去y得(34k2)x28k2x4k2120.的判别式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0.x1x22，k2.将k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，即1x1(x21)，又1，.组素养关1(2019长春二模)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且满足PF2x轴，|PF2|，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若M为y轴正半轴上的定点，过M的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，SAOBtanAOB，求点M的坐标解(1)由题意，知，结合a2
29、b2c2，得a2，b，所以1.(2)设M(0，t)，t0，由题意知，直线l的斜率存在，设l为ykxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由SAOBtanAOB，得|OA|OB|sinAOB，得|OA|OB|cosAOB3，即3，联立直线l和椭圆C的方程，有 整理得(34k2)x28ktx4t2120，x1x2，x1x2，由x1x2(kx1t)(kx2t)3，得(k21)x1x2kt(x1x2)t23，(k21)ktt23，整理可得7t23，又t0，得t.故M的坐标为2(2019河南六市第二次联考)已知动点P到定点F(1,0)和到直线x2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴
30、的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：ymxn与曲线E交于C，D两点，与AB相交于一点(交点位于线段AB上，且与点A，B不重合)(1)求曲线E的方程；(2)求直线l与圆x2y21相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由解(1)设点P(x，y)由题意可得，化简得y21.所以曲线E的方程为y21.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)将x1代入y21，得|y|，所以|AB|.当m0时，显然不符合题意当m0时，因为直线l与圆x2y21相切，所以1，所以n2m21.由消去y并整理，得x22mnxn210.因为4m2n24(n21)2m20，所以x1x2，x1x2.所以S四边形ACBD|AB|x1x2|，当且仅当2|m|，即m时等号成立将m代入n2m21，得n.经检验可知，直线yx和直线yx符合题意故四边形ACBD的面积有最大值，最大值为，对应的直线方程为yx和yx.