1、第八章 立体几何初步第44讲 空间几何体的三视图与直观图、表面积和体积【学习目标】1.了解柱体、锥体、台体、球等几何体的结构.2.对于几何体的直观图与三视图，能识图、作图.3.能计算柱体、锥体、台体、球的表面积与体积.【基础检测】1.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱 B【解析】将三视图还原为几何体即可.如图，几何体为三棱柱.2.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为.2 2【解析】先由三视图还原几何体，再分析几何体中的位置和数量关系，解三角形求最长棱的棱长.根据三视图还原几何体，得如图所示的
2、三棱锥 P-ABC.由三视图的形状特征及数据，可推知 PA平面 ABC，且PA2.底面为等腰三角形，ABBC，设 D 为 AC 中点，AC2，则 ADDC1，且 BD1，易得 ABBC 2，所以最长的棱为 PC，PCPA2AC22 2.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.83 B.163 C.8 D.16B【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥，其体积为2223222163，故选 B.4.如图，矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形C【解析】将直观图还原得OABC，
3、则 OD 2OC2 2 cm，OD2OD4 2 cm，又 CDOC2 cm，CD2 cm，OC CD2OD2 22（4 2）26 cm，OAOA6 cmOC，故原图形为菱形.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.64 B.72 C.80 D.112【解析】由三视图可知该几何体是一个组合体，下面是一个棱长为 4 的正方体；上面是一个三棱锥，三棱锥的高为 3，故所求体积为43131244372，故选 B.B6如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为
4、()A.5003 cm3 B.8663 cm3C.1 3723 cm3D.2 0483 cm3A【解析】根据题意，如图所示，其中点 A，B 为球与正方体的对棱的切点，连结 AB，取 AB 的中点为D，则根据题目条件，AB8，DB4，DC2.设球的半径为 R，则在直角三角形 ODB 中，由勾股定理得，OB2OD2DB2，即 R2(R2)242，解得 R5，所以球的体积为 V 球4R335003cm3，所以答案为 A.【知识要点】1棱柱：棱柱的侧面是_形，两个底面相互平行，侧棱_2棱锥：棱锥的侧面是_形，侧棱相交于一点3棱台：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分，叫_棱台侧面是梯形，侧棱
5、延长线必_4旋转体：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转而成的面所围成的旋转体叫_；以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余两边旋转而成的面所围成的几何体叫_；用平行于底面的平面截圆锥底面与截面之间的部分叫做_；以半圆的直径为旋转轴，半圆面旋转一圈形成的旋转体叫做_.平行四边平行三角棱台相交于一点圆柱圆锥圆台球5三视图：三视图包括正视图、_、_三种6斜二测画图要点：平行于 x 轴的线段，其方向与长度_，平行于 y 轴的线段，画其方向与 x 轴成_，长度为原来的一半7表面积公式：(1)圆柱的表面积 S_(2)圆锥的表面积 S_(3)圆台的表面积 S_(4)球的表面积 S_侧视图俯视图不变45
6、(或135)2rh2r2rlr2(r2R2rlRl)4R28体积(1)柱体 V_(2)锥体 V_(3)台体 V_(4)球体 V_13ShSh43 R313(SS)hS S一、由几何体直观图求三视图例 1(1)如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1B1C1D1内一点，则三棱锥 PBCD 的正视图与侧视图的面积之比为()A.11 B.21C.23 D.32A【解析】(1)根据题意，三棱锥 PBCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥 PBCD 的正视图与侧视图的面积之比
7、为 11.(2)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，形成的三棱锥 ABCD 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()A.22 B.12C.24D.14D【解析】(2)由正视图与俯视图可得三棱锥 ABCD的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为 22，所以侧视图的面积为 S12 22 22 14，故选 D.(3)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2).给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.和B.和C.和D.和D【解析】(3)根据正视图、俯
8、视图的投影规则，找出它们各个顶点的坐标即可.由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是.二、由三视图还原成几何体例2(1)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于_cm3.24(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168B88C1616D816A(3)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m).试画出它的直观图
9、；求它的表面积和体积.【解析】(1)如图，一个三棱柱上部截去一个三棱锥剩下的部分.V 总1243530，V 三棱锥13636，V30624.(2)下部是半个圆柱，上层后面是长方体，V 下122248，V 上24216，V168，选 A.(3)由三视图可知该几何为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为 1 和 2，高为 1，侧棱垂直于底面，长为1，直观图如图所示，法一：由三视图可知几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以 A1A，A1D1，A1B1 为棱的长方体的体积的34，在直角梯形 AA1B1B 中，作 BEA1B1 于 E，则AA1EB 是正方形，AA1BE1.在 RtBEB1 中
10、，BE1，EB11，BB1 2，几何体的表面积 SS 正方形 AA1D1D2S 梯形 AA1B1BS 矩形 BB1C1CS正方形 ABCDS 矩形A1B1C1D11212(12)11 21127 2(m2)几何体的体积 V3412132(m3).该几何体的表面积为(7 2)m2，体积为32 m3.法二：几何体也可以看作是以 AA1B1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一，V 直四棱柱 D1C1CDA1B1BASh12(12)1132(m3).几何体的表面积为(7 2)m2，体积为32m3.三、由三视图求表面积、体积例 3(1)下面是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于()A.23B.43
11、 C.1 D.13A(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为m3.30(3)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.48 B.328 17C.488 17 D.80C【解析】(1)由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱 ABCA1B1C1 截去一个三棱柱 BA1B1C1所得的几何体，如图所示.底面是直角边为 1 的等腰直角三角形，高为 2，所以 VV 柱V 锥1211 2131211 223.【点评】本题采用补形法，即将原几何体补形为一个直三棱柱，然后截去一个三棱锥后得到，借助间接法求得其体积.(2)由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的
12、四棱柱构成的组合体.长方体的体积为34224，四棱柱的体积是（12）2146，所以几何体的总体积为 30.(3)由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为 2，下底为 4，高为 4，两底面积和为 212(24)424，四个侧面的面积为4(422 17)248 17，所以几何体的表面积为488 17.故选 C.备选题例 4(1)如图，正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 ADED1的体积为.16(2)某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 xy 的最大值为_.64【解析】(1)以ADD1为底面，则易知三棱锥的
13、高为1，故V131211116.(2)依题意，题中的几何体是三棱锥PABC(如图所示)，其中底面ABC是直角三角形，ABBC，PA平面ABC，BC2 7，PA2y2102，(2 7)2PA2x2，因此xyx102x2（2 7）2x128x2x2（128x2）264，当且仅当x2128x2，即x8时取等号，因此xy的最大值是64.【点评】(1)本小题考查体积的运算，考查空间想象能力及转化化归能力.(2)本题关键是确定x满足的等量关系，即侧(左)视图中高为PA，宽为2 7，则有x2PA2(2 7)2.1.由直观图求三视图时，先找特殊点的投影，再找特殊线的投影，注意投影线的实虚线区分.2.由三视图构
14、造几何体直观图时，我们先看俯视图，如同建筑物的基线，我们把俯视图上每一点往上“建筑”，一边猜想，一边用正视图、侧视图进行检验直到符合三视图检验为止.3.由三视图求几何体的体积，需要作出几何体的高，若是锥体，先作顶点的底面的投影，连线即为几何体的高，这时我们要用三视图一一验证，看是否符合要求.1.(2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.7【解析】利用圆锥、圆柱的体积公式，列方程求解.设新的底面半径为r，由题意得 13 524228 13 r24r
15、28，r27，r 7.2.(2015重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13B.23C.132D.232A【解析】根据三视图和几何体的体积公式求解.由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的.由图中数据可得三棱锥的体积V1 13 12211 13，半圆柱的体积V2 12 122，V13.1.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别为(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()A【解析】点(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)投影后坐
16、标分别为(1，0，1)，(1，0，0)，(0，0，1)，(0，0，0)，显然正视图是个正方形，并且其中一条对角线能看到，另一条看不到.2.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A.32B.1 C.212 D.2D【解析】俯视图是面积为1的正方形，则说明正方体是竖直放置的，侧面积为2，说明正方形的对角面为正投影，故正视图边是对角面的正投影，其面积为 2.3.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是()A.23B.76 C.45 D.56D4.一个四棱
17、锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A.4 5，8 B.4 5，83C.4(51)，83D.8，8B【解析】S125244 5，V132483.5.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A.1 B.2 C.3 D.4B【解析】将几何体的三视图还原为直观图.由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示.由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r 12(6810)2.因此选B.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.
18、12 B.18 C.24 D.30C【解析】因为三个视图中直角较多，所以可以在长方体中对几何体进行分析还原，在长方体中计算其体积.由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧(左)视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示.在图(1)中，V棱柱ABC-A1B1C1SABCAA11243530，V棱锥P-A1B1C1 13 SA1B1C1PB1 13 124336.故几何体ABC-PA1C1的体积为30624.故选C.(1)(2)7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_.3【解析】由三视
19、图可知该几何体是一个底面半径为1的半个球体，所以它的表面积等于球表面积的一半与底面积之和，表面积为212123.8.已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是.283【解析】由三视图可知，这个空间几何体是一个各棱长都为2的正三棱柱，如图，其中O1、O2是上、下底面的中心，O是上下底面中心的连线的中点，则OA就是其外接球的半径，故OO21，O2A 2 33，所以OA214373，故其外接球的表面积是473283.9.四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形.【解析】由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，AD平面BDC，四面体ABCD体积V131222123.(2)证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形.又AD平面BDC，ADBC，EFFG.四边形EFGH是矩形.