1、高考总复习第（1）轮理科数学第三单元导数及其应用第18讲 导数的综合应用导数与不等式1能够构造函数利用导数证明一些简单的不等式和解某些不等式2会将恒成立问题及存在性问题转化为最值问题进行求解1如果不等式 f(x)g(x)，xa，b恒成立，则转化为函数(x)f(x)g(x)在xa，b内的_0.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)2若 f(x)0，xa，b，且 x0(a，b)有 f(x0)0，则 f(x)0 的 x的取值范围为_，f(x)m 在 xa，b上恒成立，则函数 f(x)在 xa，b的_m.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)若 f(x)m 在 xa，b上恒成立，则
2、函数 f(x)在 xa，b的_m 在 xa，b有解，则函数 f(x)在 xa，b的_ m.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)最小值(a，x0)最小值(x0，b)最大值最大值解：令 f(x)ex(1x)，因为 f(x)ex1，所以对x0，)，f(x)0，故 f(x)在0，)上递增，故 f(x)f(0)0，即 ex1x.答案：A1对于x0，)，则 ex 与 1x 的大小关系为()Aex1xBex0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)与 2f(1)的大小不确定解：依题意，当 x1 时，f(x)0，f(x)在(
3、1，)上是增函数；当 x1 时，f(x)f(1)，f(2)f(1)，所以 f(0)f(2)2f(1)答案：B3已知定义在 R 上函数 f(x)满足 f(x)f(x)，且 x0时，f(x)0 的解集为()A(，0)B(0，)C(，1)D(1，)解：因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0，又x0 时，f(x)0 的解集为(，0)答案：A4若函数 h(x)2xkxk3在1，)上是增函数，则实数 k 的取值范围是_.解：因为 h(x)2 kx2，且 h(x)在1，)上单调递增，所以 h(x)2 kx20，所以 k2x2，要使 k2x2 在1，)上恒成立，则只要 k(2x2)max，所
4、以 k2.答案：2，)5设 f(x)x2a，g(x)2x.(1)若x0,1，f(x)g(x)，则实数 a 的取值范围为_；(2)若x0,1，f(x)g(x)，则实数 a 的取值范围为_.解：(1)F(x)f(x)g(x)x22xa(x0,1)则F(x)minF(1)3a.因为“若x0,1，f(x)g(x)”等价于“F(x)min0，x0,1”，所以3a0，解得 a3.所以实数 a 的取值范围为3，)(2)F(x)f(x)g(x)x22xa(x0,1)则F(x)maxF(0)a.因为“若x0,1，f(x)g(x)”等价于“F(x)max0，x0,1”，所以 a0.所以实数 a 的取值范围为0，)
5、答案：(1)3，)(2)0，)利用导数解不等式利用导数证明不等式恒成立问题与存在性问题考点1利用导数解不等式【例 1】(2019湖南岳阳段考)若 f(x)的定义域为 R，f(x)2 恒成立，f(1)2，则 f(x)2x4 的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)解：令 g(x)f(x)2x4，因为 g(x)f(x)20，所以 g(x)在(，)上是增函数，又 g(1)f(1)2(1)40，所以 f(x)2x4g(x)g(1)x1.所以 f(x)2x4 的解集为(1，)答案：B【变式探究】1(经典真题)设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当 x0 时，xf(
6、x)f(x)0 成立的 x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)解：记函数 g(x)fxx，则 g(x)xfxfxx2，因为当 x0 时，xf(x)f(x)0 时，g(x)0，所以 g(x)在(0，)上单调递减；又因为函数 f(x)(xR)是奇函数，所以函数 g(x)是偶函数，所以 g(x)在(，0)上单调递增，且 g(1)g(1)0，当 0 x0，则 f(x)0；当 x1 时，g(x)0.综上所述，使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)点评：利用导数解不等式的基本方法：(1)构造函数，利用导数研究其单调性；(2)
7、寻找一个特殊的函数值；(3)根据函数的性质(主要是单调性，结合图象)得到不等式的解集 考点2利用导数证明不等式【例 2】已知函数 f(x)(1x)e2x.当 x0,1时，求证：1xf(x)11x.解：要证 x0,1时，(1x)e2x 11x，只需证明 exx1.记 k(x)exx1，则 k(x)ex1，当 x(0,1)时，k(x)0，因此，k(x)在0,1上是增函数，故 k(x)k(0)0，所以 f(x)11x，x0,1 要证 x0,1时，(1x)e2x1x，只需证明(1x)ex(1x)ex.记 h(x)(1x)ex(1x)ex，则 h(x)x(exex)，当 x(0,1)时，h(x)0，因此
8、，h(x)在0,1上是增函数，故 h(x)h(0)0.所以 f(x)1x，x0,1 综上，1xf(x)11x，x0,1【变式探究】分析：f(x)1exx210 x21ex10.故可构造函数 g(x)exx21 或 g(x)(x21)ex1 进行证明，前者思路自然，后者技巧性较强 2(2018全国卷节选)已知函数 f(x)exx2.证明：当 x0 时，f(x)1.证明：(方法 1)f(x)1 等价于 exx210，令 g(x)exx21，则 g(x)ex2x，令(x)ex2x，则(x)ex2，由(x)0，得 xln 2.当 x0，ln 2)，(x)0，即 g(x)在(ln 2，)单调递增 所以
9、g(x)ming(ln 2)eln 22ln 22(1ln 2)0，所以 g(x)0，故 g(x)在0，)单调递增，又 g(0)0，所以 g(x)0，从而 f(x)1.(方法 2)f(x)1 等价于(x21)ex10.设函数 g(x)(x21)ex1，则 g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当 x1 时，g(x)g(x)的步骤：构造函数 F(x)f(x)g(x)；研究 F(x)的单调性或最值；证明 F(x)min0.(2)注意：其中第步构造函数是将不等式问题转化为函数问题的关键为了便于利用导数研究函数的性质，常用分析法将要证明的不等式进行适当变形或化简或放缩，然后构造相应的函数；其中第步
10、是难点，讨论 F(x)时，有时还要进一步构造函数进行研究 考点3恒成立问题与存在性问题【例 3】(2018武汉二月调研)已知函数 f(x)x2ln xa(x21)(aR)，若 f(x)0在 0 x1 上恒成立，则实数 a 的取值范围为()A.2，)B1，)C12，)D 24，)解：f(x)2xln xx2axx(2ln x12a)，因为 0 x1，所以 2ln x0.12a0，即 a12时，f(x)0，即 a0，f(x)在(x0，1)单调递增，所以 f(x)f(1)0，不成立综上可得，a 的取值范围为12，)答案：C【变式探究】3(2019临汾五校联考)设函数 f(x)ex(x332x26x2
11、)2aexx，若不等式 f(x)0 在2，)内有解，则实数 a 的最小值为()A321eB322eC34 12eD11e 解：因为 f(x)ex(x332x26x2)2aexx0，所以 a12x334x23x1 x2ex，令 g(x)12x334x23x1 x2ex，g(x)32x232x3x12ex(x1)(32x3 12ex)，故当 x2,1)时，g(x)0，所以 g(x)在2,1)内是减函数，在(1，)内是增函数，所以 g(x)ming(1)123431 12e34 12e.则实数 a 的最小值为34 12e.点评：(1)恒成立问题和存在性问题都可转化为最值问题(2)恒成立问题及存在性问
12、题，其求解方法主要有“整体考虑”和“分离参数”两种思路例如 f(x)g(x)在 xD 上恒成立，求其中参数 a 的范围，其主要方法是：整体考虑法：将不等式变形为 f(x)g(x)0，构造函数F(x)f(x)g(x)，转化为 F(x)min0.分离参数法：将不等式变为 ah(x)或 ah(x)max 或 ag(x)在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 F(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明 F(x)0.其中要特别关注如下两点：(1)是直接构造 F(x)，还是适当变形化简后构造 F(x)，对解题的繁简有影响；(2)找到 F(x)在什么地方可以等于零，往往是解决问题的一个突破口2利用导数解不等式的基本方法是构造函数，寻找一个函数的特殊值，通过研究函数的单调性，从而得出不等式的解集3处理已知不等式恒成立求参数范围的问题，要突出转化的思想，将其转化为函数的最值问题例如，已知 f(x)g(x)在 xD 上恒成立，求其中参数 a 的范围，其主要方法是：整体考虑法：将不等式变形为 f(x)g(x)0，构造函数 F(x)f(x)g(x)，转化为 F(x)min0.分离参数法：将不等式变为 ah(x)或 ah(x)max 或 ah(x)min.点击进入WORD链接