1、第9讲 指数与指数函数、幂函数【学习目标】1了解指数幂的概念、掌握有理数指数幂的运算性质2掌握指数函数的概念、图象和性质3了解幂函数的概念，结合函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx12的图象了解它们的变化情况【基础检测】1.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是()A.x(x)12B.x133 xC.xy344yx3(x，y0)D.6 y2y13C【解析】xx12，故 A 错；x13 13 x，故 B 错；当 x，y0 时，xy34 1xy34yx344yx3，故 C 正确；6 y2y13，所以 D 错，故选 C.2.如图给出四个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是()A.yx13 yx
2、2 yx12 yx1B.yx13 yx12 yx2 yx1C.yx2 yx3 yx12 yx1 D.yx3 yx2 yx12 yx1D【解析】图像关于 y 轴对称，即函数为偶函数，所以答案 B、C 舍去；图像关于原点对称，且在(，)增函数，同时其图像在第一象限是凹的，而函数 yx13的图像在第一象限是凸的，故选 D.3.若幂函数 y(m23m3)的图象不过原点，则 m 的取值是()A.1m2 B.m1 或 m2C.m2 D.m1D【解析】由幂函数的定义，可得m23m31m2m20m1.2mm2x3.若幂函数 y(m23m3)的图象不过原点，则 m 的取值是()A.1m2 B.m1 或 m2C.
3、m2 D.m12mm2x4.将 a7612，b6512，c6713这三个数从小到大排列正确的是()A.cabB.cbaC.abc D.acbA【解析】c67137613，结合指数函数 y76x的单调性可知 ca，结合幂函数 yx12的单调性可知 ab，ca1 且nN*)，那么这个数就叫做 a 的 n 次方根，即若 xna(n1，nN*)，则 x_式子n a叫做_，n 叫_，a 叫_(2)根式的性质：a 的 n(n1，nN*)次方根，当 n 为奇数时，有一个 n 次方根为_；当 n 为偶数时，若 a0，有两个互为相反数的 n 次方根为_，若 a0，其 n 次方根为_，若 a0，m，nN*，n1)
4、a（a0）a（a0)(2)aras_(r，sQ，a0)(3)(ar)s_(r，sQ，a0)(4)(ab)r_(rQ，a0，b0)arsarsarbrars4指数函数的概念、图象和性质定义形如 yax(a0 且 a1)的函数叫指数函数图象(1)定义域：_(2)值域：_(3)过点_，即 x0 时，y1(4)在 R 上是_在 R 上是_性质(5)x0 时，_,x0 时，_x10y10y15.幂函数(1)一般地，形如的函数叫做幂函数，其中 x 是自变量，是常数(2)在同一平面直角坐标系中，幂函数 yx，yx2，yx3，yx12，yx1 的图象比较如下熟记 1，2，3，12，1 时幂函数的图象是解决有关
5、幂函数问题的基础yx(R)(3)幂函数的性质如下：当 0 时，幂函数 yx 有下列性质：图象都通过点(0，0)、(1，1)；在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大；在第一象限内，过(1，1)点后，图象向右上方无限伸展.当 0 时，幂函数 yx 有下列性质：图象都通过点(1，1)；在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近，向右与 x 轴无限地接近.一、分式指数幂及根式的化简与求值例 1 计算下列各式的值.(1)2790.50.1221027233 03748；(2)(23 a2 b)(6 a3 b)(36 a6 b5).【解析】(1)2790.50.122102723303748259121
6、10264272331374853212101 2433 2333748 5321210(1)(2)43323 33748 5310243233748 5310034233748100.(2)23 a2 b 6 a3 b 36 a6 b5 4a1b04a.2111 1 532 62 3 6=4ab 211511336622263a ba ba b【点评】关于指数式的运算，主要技能是熟练运用指数幂各种运算性质，以及分解、配方等技巧.利用分数指数幂来进行根式运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.二、指数函数的图象及性质例 2(1)函数 f(x)x31，x013x，x0
7、的图象大致为()(2)若指数函数 f(x)的图像过点(2，4)，则 f(3)_；不等式 f(x)f(x)52的解集为.A18(1，1)【解析】(1)x0 时，f(x)x3 是增函数，排除 C、D，x0 时，f(x)13x是减函数，排除 B，选 A.(2)因为函数 f(x)是指数函数，可设 f(x)ax，则 f(2)4a12，即 f(x)12x，所以 f(3)12318；f(x)f(x)5212x12x52 12x2x0，上式可化为1tt522t25t20(2t1)(t2)012t2，即122x21x0，a1)是定义域为 R 的奇函数.(1)若 f(1)0，试求使不等式 fx2tx f2x1 0
8、 在定义域上恒成立的 t 的取值范围；(2)若 f(1)83，且 g(x)a2xa2x2mf(x)在1，上的最小值为2，求 m 的值.【解析】(1)f(x)是定义域为 R 的奇函数，f(0)0，1(k1)0，k2.函数 f(x)axax(a0 且 a1)，f(1)0，a1a0，又 a0，a1.由于 yax 单调递增，yax 单调递减，故 f(x)在 R上单调递增.不等式化为：f(x2tx)f(2x1).x2tx2x1，即 x2(t2)x10 恒成立，(t2)240，解得4t0.(2)f(1)83，a1a83，即 3a28a30，a3，或 a13(舍去).g(x)32x32x2m(3x3x)(3
9、x3x)22m(3x3x)2.令 tF(x)3x3x，可知 F(x)显然是增函数.x1，tf(1)83，令 h(t)t22mt2(tm)22m2t83，若 m83，当 tm 时，h(t)minh(m)2m22，m2，舍去；若 mb11ab0图象底大于 1 时，底大者靠近 y 轴底小于 1 时，底小者靠近 y 轴1.(2015 陕西)设 f(x)1 x，x0，2x，x0 时是增函数；幂函数 yxn，当 n0 时，其图象才都经过点(1，1)和点(0，0)，故错误；幂函数 yxn，当 n1 时，其图象就是一条直线，故错误；幂函数 yxn，当 n0 时，其图象是 y1 这条直线上去除(0，1)点后的剩
10、余部分，故错误；当 n2 时，yx2 不是增函数，故错误；根据幂函数的性质可知：只有是正确的.2.函数 f(x)21|x|的图象是()C【解析】由函数解析式可知定义域为 R，且满足 fxfx，因此函数是偶函数，且当 x0 时函数取得最大值，因此 C 项正确.3.已知函数 yax1(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在一次函数 ymxn 的图象上，其中 m，n0，则1m1n的最小值为()A.1 B.2 C.2 D.4D【解析】函数 yax1a0，且a1 的图象恒过定点 A，可得 A1，1，点 A 在一次函数 ymxn 的图象上，mn1，m，n0，1m1n1m1n mn 2nmmn22
11、nmmn4，当且仅当 nm12时取得等号；故选 D.4.设 y140.9，y280.48，y3121.5，则()A.y3y1y2 B.y2y1y3C.y1y3y2 D.y1y2y3B【解析】由指数函数的性质，当底数大于 1 时，函数为增函数，y280.4840.96，y3121.521.540.75.所以 y2y1y3.5.函数 y18x23x2的增区间为()A.，32B.32，C.1，2 D.(，12，)A【解析】函数由 y18t，tx23x2 复合而成，函数定义域为 R，y18t为减函数，tx23x2 在，32 上递减，在32，上递增，因此原函数的增区间为，32.6.若 x0，y0 且 2
12、x122y1，则1x1y的最小值为()A.3 B.2 2 C.2 D.32 2D【解析】由 2x122y1得：2x212yx12y，即 x2y1，x0，y0，那么1x1y(x2y)1x1y 32yx xy32 2，显然等号能成立，故选 D.7.已知函数 fx ex1，gx x24x3，若 a，bR 使得 fa gb，则实数 b 的取值范围为.2 2，2 2【解析】由题可知 fx ex11，gx x24x3x2 211.若有 fa gb，则 gb 1，1，即b24b31，即 b24b20，解得 2 2b0恒成立，求实数 m 的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为 R，f(x)2x12x112x112x112x12x2x12x1f(x)，则函数 f(x)为奇函数；(2)先说明函数 f(x)在(，)上是增函数，因为f(x)122x1，随 x 的增大 2x1 也增大，22x1也增大，f(x)随 x 的增大而增大，说明函数 f(x)在(，)上是增函数.不等式 f(2x)f(x2m)0 恒成立，即 f(2x)f(x2m)，即：f(2x)f(mx2)，2xmx2，mx22x恒成立，又因为 x22x(x1)21 最小值为1，则m1.
