1、第56讲 直线与圆锥曲线的位置关系【基础检测】1.直线 ykxk1 与椭圆x29 y241 的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定【解析】直线 ykxk1kx1 1 过定点1，1，该点在椭圆内部，因此直线与椭圆相交.A【学习目标】掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法；掌握直线被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解方法；能够综合应用方程思想及圆锥曲线的几何性质解决有关直线与圆锥曲线的综合问题.2.已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，以 F1F2 为直径的圆被直线xayb1 截得的弦长为 6a，则双曲线的离心率为()A.3 B.2 C.3D.2D【解
2、析】由题意，圆心到直线的距离为 d11a2 1b2abc，以 F1F2为直径的圆被直线xayb1 截得的弦长为 6a，2c2a2b2c2 6a，2(c4a2b2)3a2c2，2c42a2(c2a2)3a2c2，2e45e220，e1，e22.故选 D.3.已知抛物线 y22px与直线 axy40相交于A、B 两点，其中 A 点的坐标是(1，2).如果抛物线的焦点为 F，那么|FA|FB|等于()A.5 B.6 C.3 5 D.7【解析】把点(1，2)代入抛物线和直线方程，分别求得 p2，a2.抛物线方程为 y24x，直线方程为 2xy40，联立消去 y 整理得 x25x40，解得 x1 或 4
3、，A点横坐标为 1，B 点横坐标为 4，根据抛物线定义可知|FA|FB|xA1xB17，故选 D.D4.若椭圆x2a2y2b21 的焦点在 x 轴上，过点1，12 作圆 x2y21 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_.x25 y241【解析】点1，12 在圆外，过点1，12 与圆相切的一条直线为 x1，又直线 AB 经过椭圆的右焦点和上顶点，椭圆的右焦点为1，0，即 c1，设点 P1，12，连接 OP，则 OPAB，kOP12，kAB2.又直线AB 过点1，0，直线 AB 的方程为 2xy20，点0，b 在直线 AB 上，b2，又 c1，a25
4、，故椭圆方程是x25 y241.【知识要点】1直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：_；_；_具体如下：直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决.直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行.无公共点仅有一个公共点有两个相异的公共点直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解
5、的情况来判断设直线 l 的方程为 AxByC0，圆锥曲线方程 f(x，y)0.由AxByC0f（x，y）0，消元(x 或 y)，如消去 y 后得 ax2bxc0.()若 a0，设 b24ac.0 时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；0 时，直线和圆锥曲线相切于一点；0)，|AB|_1k2|x1x2|（1k2）（x1x2）24x1x21 1k2|y1y2|x1x2p3.涉及弦的中点及直线的斜率问题，可考虑用“点差法”，构造出 kABy1y2x1x2和 x1x2，y1y2 运用整体代入的方法求中点或斜率，体现“设而不求”的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系例1过点(0，3)的直线l，与双曲线x24
6、 y23 1只有一个公共点，求直线l的方程【解析】设过点(0，3)的直线方程为y3kx，联立方程组y3kx，x24 y231，并消去y得：(34k2)x224kx480，讨论方程的二次项系数：当k32 时，方程为一次方程，此时直线l平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点，故直线l的方程为y 32 x3.当k32时，方程为一元二次方程，判别式192(3k2)0，k3，此时直线l与双曲线相切，只有一个公共点，故直线l的方程为y 3x3，综上所述，所求直线l有4个，方程分别为 y 32 x3，y 32 x3，y 3x3，y 3x3.【点评】研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般化为研究其直线方程与圆锥
7、曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解二、中点问题例 2(1)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点.若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361 B.x236y2271C.x227y2181 D.x218y29 1D【解析】(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆的方程，两式相减，根据线段 AB 的中点坐标为(1，1)，求出斜率，进而可得 a，b 的关系，根据右焦点为 F(3，0)，求出 a，b 的值，即可得出椭圆的方程.设 A
8、(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆的方程有，x21a2y21b21，x22a2y22b21 两 式 相 减 得，（x1x2）（x1x2）a2（y1y2）（y1y2）b20，线段 AB 的中点坐标为(1，1)，x1x22，y1y22 代入上式得：y1y2x1x2b2a2.直线 AB 的斜率为013112，b2a212a22b2，右焦点为 F(3，0)，a2b2c29 解得：a218，b29，椭圆方程为：x218y29 1.故选 D.(2)如图，已知抛物线 y24x，点 Pa，0 是 x 轴上的一点，经过点 P 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点.()求证线段 AB 的
9、中点在一条定直线上，并求出该直线方程；()若AB 4OP(O 为坐标原点)，求 a 的值.【解析】(2)()设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点为 M(x0，y0).则y214x1y224x2(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，又y1y2x1x21，y1y22y0，所以 2y04，从而 y02.故，线段 AB 的中点在直线 y2 上.()直线 l：xya，由xyay24x y24y4a0.16(a1)0，a1，|AB|2|y1y2|4 2（a1）.若|AB|4|OP|，则 4 2（a1）4|a|，即 a22a20.解得：a1 3(a1 3舍)，所以 a1 3.【点评】有关弦中
10、点的轨迹、中点弦所在直线的方程、中点坐标问题，一般采用如下两种方法：(1)“设而不求”的方法.若直线 l 与圆锥曲线 C 有两个交点 A 和 B，一般地，首先设出交点坐标 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中有四个参数 x1，y1，x2，y2，它们只是过渡性符号，通常是不需要具体求出的，但有利于用韦达定理等解决问题，是直线与圆锥曲线位置关系中常用的方法.(2)作差法.在给定的圆锥曲线 f(x，y)0 中，求中点为(m，n)的弦 AB 所在直线方程时，一般可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用 A，B 在曲线上，得 f(x1，y1)0，f(x2，y2)0 及 x1x22m，y1y22
11、n，故可求出斜率 kABy1y2x1x2，最后由点斜式写出直线 AB 的方程.三、直线与圆锥曲线的综合应用例 3 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率 e 22，且经过点 M(2，1).(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F2，且与椭圆 C交于 A，B 两点，使得F1A，AB，BF1 依次成等差数列，求直线 l 的方程.【解析】(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21，(其中ab0).由题意知 eca 22，且 2a2 1b21，解得 a24，b22，c22，所以椭圆 C 的方程为x24 y22 1.(2)由于F1A，AB，BF
12、1 依次成等差数列，则F1A BF1 2AB，而F1A AB BF1 4a8，所以AB 83.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x 2)，代入椭圆 C 的方程x24 y22 1，化简得(12k2)x24 2k2x4k240，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 4 2k212k2，x1x24k2412k2 又AB 1k2x1x2 1k2（x1x2）24x1x2 1k24 1k212k2 4（1k2）12k283，解得 k1；当直线 l 的斜率不存在时，x 2，代入椭圆方程得 y1，AB 2，不合题意.所以，直线 l 的方程为 y(x 2).备选题例 4 已知
13、椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的短轴长为 2，离心率为 22.过点 M(2，0)的直线 l 与椭圆 C 相交于A，B 两点，O 为坐标原点.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求OA OB 的取值范围；(3)若 B 点关于 x 轴的对称点是 N，证明：直线 AN 恒过一定点.【解析】(1)易知 b1，由 eca 22 得 a22c22a22b2，故 a22.故椭圆 C 的方程为x22 y21.(2)设 l：yk(x2)，与椭圆 C 的方程联立，消去 y 得(12k2)x28k2x8k220.由0 得 0k212.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8k212k2，x1x2
14、8k2212k2.OA OB x1x2y1y2x1x2k2(x12)(x22)(1k2)x1x22k2(x1x2)4k210k2212k2 5712k2，0k212，72b0)的一个焦点，C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6.过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A，B 两点，与 C2 相交于 C，D 两点，且AC 与BD 同向.(1)求 C2 的方程；(2)若|AC|BD|，求直线 l 的斜率.【解析】(1)由 C1：x24y 知其焦点 F 的坐标为(0，1).因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点，所以 a2b21.又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6，C1 与 C2 都关于 y轴
15、对称，且 C1 的方程为 x24y，由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为 6，32，所以 94a2 6b21.联立，得 a29，b28.故 C2 的方程为y29 x28 1.(2)如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).因 AC 与 BD 同 向，且|AC|BD|，所以AC BD，从而 x3x1x4x2，即 x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 ykx1.由ykx1，x24y，得 x24kx40.而 x1，x2 是这个方程的两根，所以 x1x24k，x1x24.由ykx
16、1，y29 x28 1，得(98k2)x216kx640.而x3，x4 是这个方程的两根，所以 x3x4 16k98k2，x3x46498k2.将代入，得 16(k21)162k2（98k2）246498k2，即 16(k21)1629（k21）（98k2）2，所以(98k2)2169，解得 k 64，即直线 l 的斜率为 64.【点评】本题考查了椭圆与抛物线的方程、直线与椭圆、抛物线的位置关系的知识，考查了数形结合思想、转化与化归思想等.1.若 ab 且 ab0，则直线 axyb0 和二次曲线 bx2ay2ab 的位置关系可能是()C【解析】由已知，直线方程可化为 yaxb，其中 a 为斜率
17、，b 为纵截距，二次曲线方程可化为x2a y2b1，应用淘汰法可知 A，B，D 均自相矛盾，故选 C.2.直线y43xb(b0)与双曲线x29 y2161的交点个数是()A.0 个B.1 个C.2 个D.与 b 的取值有关B【解析】因为 y43xb(b0)与双曲线的渐近线y43x 平行，所以直线 y43xb(b0)与双曲线的交点个数只有一个，故选 B.3.直线 yk(x2)交抛物线 y28x 于 A、B 两点，若 AB 中点的横坐标为 3，则弦 AB 的长为()A.6 B.10 C.2 15 D.16B【解析】直线过抛物线的焦点，弦 AB 即为焦点弦，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
18、|AB|x1x2p6410，选 B.4.设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|()A.303B.6 C.12 D.7 3【解析】先求解直线的方程，再进一步根据抛物线的定义求解弦长.F 为抛物线 C：y23x 的焦点，F34，0，AB 的方程为 y0tan 30 x34，即 y 33 x 34.C联立y23x，y 33 x 34，得13x272x 3160.x1x27213212，即 xAxB212.由于|AB|xAxBp，所以|AB|212 3212.5.过抛物线 y23x 上一定点 M(x0，y0)(y00)，作两条直线 M
19、A、MB 分别交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线 MA 与 MB 的斜率存在且倾斜角互补时，y1y23y0 的值是()A.13B.23C.3 D.23D【解析】由y203x0y213x1作差化简得到：y0y1x0 x13y0y1kMA，同理：y0y2x0 x23y0y2kMB，由已知，kMAkMB，3y0y13y0y2y0y1(y0y2)y1y22y0 y1y2y02y1y23y0 23.6.过点 P(8，1)的直线与双曲线 x24y24 相交于A，B 两点，且 P 是线段 AB 的中点，则直线 AB 的方程是.2xy150【解析】设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(
20、x2，y2).则 x214y214，x224y224，由，得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.P 是线段 AB 的中点.x1x216，y1y22，y1y2x1x2x1x24（y1y2）2.直线 AB 的斜率为 2.直线 AB 的方程为 y12(x8).即 2xy150.7.已知直线 l 与椭圆 x22y22 交于 P1，P2 两点，线段 P1P2 的中点为 P，设直线 l 的斜率为 k1(k10)，直线 OP(O 为坐标原点)的斜率为 k2，则 k1k2 的值等于_.12【解 析】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则Px1x22，y1y22，k2y1y2x1x2，k
21、1y2y1x2x1，k1k2y22y21x22x21.由x212y212x222y222，相减得 y22y2112(x22x21)，故k1k212.8.设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2 的周长为 16，求|AF2|；(2)若 cosAF2B35，求椭圆 E 的离心率.【解析】(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2 的周长为 16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1
22、|835.(2)设|F1B|k，则 k0 且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2 中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)265(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0.而 ak0，故 a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得 F1AF2A，故AF1F2 为等腰直角三角形.从而 c 22 a，所以椭圆 E 的离心率 eca 22.9.如图，过抛物线 C：x22py(p0)的焦点 F 的
23、直线交 C 于 M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，且 x1x24.(1)求 p 的值；(2)R，Q 是 C 上的两动点，R，Q 的纵坐标之和为 1，RQ 的垂直平分线交 y 轴于点 T，求MNT 的面积的最小值.【解析】(1)设 MN：ykxp2，由ykxp2，x22py，消去 y，得 x22pkxp20.(*)由题设，x1，x2 是方程(*)的两实根，所以 x1x2p24，故 p2.(2)设 R(x3，y3)，Q(x4，y4)，T(0，t)，因为 T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR|TQ|.得 x23(y3t)2x24(y4t)2，又 x234y3，x244y4，所以 4y3(y3t)24y4(y4t)2.即 4(y3y4)(y3y42t)(y4y3).而 y3y4，所以4y3y42t.又因为 y3y41，所以 t52.故 T0，52.因此 SMNT12|FT|x1x2|34|x1x2|.由(1)得 x1x24k，x1x24.SMNT34（x1x2）24x1x234（4k）24（4）3 k213.因此，当 k0 时，SMNT 有最小值 3.