1、高考总复习第（1）轮理科数学第四单元三角函数与解三角形第25讲 倍角公式及简单的三角恒等变换1能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用2能运用两角和与差的三角公式进行简单的三角恒等变换3能根据三角函数式的结构特点选择公式变形，培养灵活选择和运用公式的能力1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式：sin 2_；cos 2_1_1；tan 2_.2三角恒等变换(1)三角函数求值“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系(2)三角函数化简三角函数化简的几种常用思路：角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半
2、关系，减少角的种类，化异角为同角函数名称的变换：观察、比较名称上的差异，采用切化弦或弦化切等手段，实现异名化同名常数的变换：如1sin2cos2tan4，32 sin3等次数变换：常用方式是升次或降次；主要公式是二倍角余弦公式及其逆向使用如 sin21cos 22，cos21cos 22等结构变换：通过重组、移项，或变除为乘，或求差等实现结构的变换(3)三角恒等式的证明证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变形，然后化繁为简、左右归一，或用变更命题的方法，使两端化异为同1降幂公式：cos21cos 22，sin21cos 22.2升幂公式：1cos 22cos2，1cos
3、 22sin2.3半角公式：sin221cos 2；cos221cos 2；tan221cos 1cos；tan2sin 1cos 1cos sin.1(2018全国卷)若 sin 13，则 cos 2()A.89B.79C79D89 解：因为 sin 13，所以 cos 212sin212(13)279.答案：B 2(2016全国卷)若 cos(4)35，则 sin 2()A.725B.15 C15D 725 解：因为 cos(4)35，所以 sin 2cos(22)cos2(4)2cos2(4)12 9251 725.答案：D3已知 cos 13，(，2)，则 cos2等于()A.63B
4、63C.33D 33解：因为cos221cos 21132 23，又(，2)，2(2，)，所以cos2 63.答案：B4.3sin 702cos210()A.12B.22C.2D.32答案：C 解：原式3sin 7021cos 2023cos 203cos 2022.5化简(sin2tan tan2cos2)sin 22cos 的结果为()A.1tan Btan Csin Dcos 解：原式(1tan tan2)sin(1sin cos 1cos sin)sin sin cos tan.答案：B三角函数的求值三角函数的化简三角恒等式的证明考点1三角函数的求值【例 1】(1)4cos 50tan
5、 40()A.2B.232C.3D2 21(2)(2019河南百校联盟 4 月联考)已知 为第二象限角，且 tan tan 122tan tan 122，则sin(56)等于()A.1010B.1010C3 1010D.3 1010解：(1)原式4sin 40sin 40cos 404sin 40cos 40sin 40cos 402sin 80sin 40cos 402cos4030sin 40cos 402cos 40cos 30sin 40sin 30sin 40cos 40 3cos 40cos 40 3.(2)因为 tan tan 122tan tan 122，所以tan tan 1
6、21tan tan 122，所以 tan(12)2，(方法 1)因为 为第二象限角，所以 sin(12)2 55，cos(12)55，所以 sin(56)sin(6)sin(12)4cos(12)sin4sin(12)cos43 1010.(方法 2)令 12，则 tan 2，因为 为第二象限角，又 tan 2，所以 也是第二象限角，所以 sin 2 55，cos 55，所以 sin(56)sin(1256)sin(34)22(sin cos)22(2 55 55)3 1010.答案：(1)C(2)C【变式探究】1(1)1sin 103sin 80的值为_.(2)已知1cos 2sin cos
7、 1，tan()13，则 tan(2)的值为 _.解：(1)原式sin 80 3sin 10sin 10sin 80cos 10 3sin 10sin 10cos 10412cos 10 32 sin 10sin 204sin 30cos 10cos 30sin 10sin 204sin3010sin 204sin 20sin 20 4.(2)因为1cos 2sin cos 1，所以 2sin2sin cos 2tan 1，所以tan 12，又tan()13，所以tan(2)tan()tantan 1tantan 1312113121.点评：(1)“角”是三角函数的“灵魂”，三角变换中首先要考
8、虑角的变换与统一，通过角的变换进行函数名称及函数式的结构变换(2)给角求值问题一般思路是通过变换凑出特殊角并设法创造将非特殊角消去(抵消或约分)的机会(3)给值求值问题的求解，其关键是明确变换的目标，根据目标灵活选择凑角和运用公式考点2三角函数的化简【例 2】化简2cos212tan4sin24的结果为()Atan Btan 2C1D2解：原式2cos212sin4cos4cos242cos212sin4cos42cos21cos 2cos 2cos 21.答案：C【变式探究】2(2017湖南长沙一模)化简：2sinsin 2cos22 .解：2sinsin 2cos222sin 2sin c
9、os 1cos 24sin 1cos 1cos 4sin.点评：化简时要有整体意识，合理变形，为公式应用创造条件，使结果的三角函数名称、角的个数尽可能少考点3三角恒等式的证明【例 3】(经典真题)设(0，2)，(0，2)，且 tan 1sin cos ，则A32B22C32D22分析：本题实质是条件等式的证明问题，由题设条件证明选择支中的某一个等式是成立的由于目标不是十分明确，因此，可从条件入手进行推证解：(方法 1)由 tan 1sin cos 得sin cos 1sin cos ，即 sin cos cos cos sin，所以 sin()cos sin(2)因为(0，2)，(0，2)，所
10、以(2，2)，2(0，2)，所以 2，所以 22.(方法 2)tan 1sin cos cos2sin22cos22sin22cos2sin2cos2sin21tan21tan2tan(42)，因为(0，2)，所以42(4，2)，又因为(0，2)，且 tan tan(42)，所以 42，即 22.答案：B【变式探究】3(2018广州二模)若，为锐角，且 cos(6)sin(23)，则()A3B6C3D6 解：由 cos(6)sin(23)得cos(6)sin(26)cos(6)，所以 cos(6)cos(6)，又，为锐角，所以 6(6，3)，6(6，23)，所以66 或 66，所以 0 或 3
11、.点评：(1)证明角的恒等式(或已知值求角)这类问题的求解，其基本步骤为：根据题设条件求角的某一三角函数值；讨论角的范围；根据角的范围和函数值确定角的大小(2)讨论角的范围时，必要时需要根据已知三角函数值缩小角的范围确定角的范围要结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，特别要注意一些隐含条件，尽量使角的范围最小，避免出现增根1三角恒等变形是以同角三角函数的基本关系，诱导公式，和、差、倍角公式为基础的一般可从变换角、变换函数和变换运算结构三方面着手(1)角度变换：利用“和差倍半”“互余互补”既要注意角的和、差、倍、半的相对性，又要注意题目中所给各角之间的关系(2)函数变换：常采用“异名化
12、同”“化弦”“化切”“常数1的代换”等(3)结构变换：改变运算结构的主要方法有代数中的配方、拆项、消元，因式分解等及三角中的升幂、降次等2三角函数式恒等变换的常用策略(1)发现差异：观察角、函数名称运算结构间的差异，即进行“差异分析”(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异(3)合理转化：选择恰当公式，促使差异的转化 3几个重要的三角变换(1)sin cos 可凑倍角公式(2)1sin(sin2cos2)2.(3)1cos 可用升幂公式；1sin 也可化为 1cos(2)后再用升幂公式(4)引入辅助角可化 asin xbcos x a2b2sin(x)，其中tan ba，这一公式应用广泛，应熟练掌握点击进入WORD链接