1、第4讲不等式不等式的解法核心提炼1一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集2简单分式不等式的解法(1)0(0(0)；(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.典型例题 (1)已知函数f(x)(ax1)(xb)，若不等式f(x)0的解集是(1，3)，则不等式f(2x)0的解集是()A.B.C.D.(2)不等式(a2)x22(a2)x40的解集为R，则实数a的取值范围是_【解析】(1)由f(x)0，得ax2(ab1)xb0，又其解集是(1，3)，所以a0，且
2、解得a1或(舍去)，所以a1，b3，所以f(x)x22x3，所以f(2x)4x24x3，由4x24x30，得4x24x30，解得x或x，故选A.(2)当a2时，不等式化为40，恒成立；当a2时，由条件知，解得2a1的解集为()A.B(，1)C.(1，)D.解析：选A.原不等式等价于10，即0，整理得0，不等式等价于(2x1)(x1)0，解得x1(a0，a1)的解集为(a，2a)，且函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围为_解析：当a1时，由题意可得x2ax2a20的解集为(a，2a)，这显然是不可能的当0a1时，由题意可得x2ax2a20，则|axb|ccaxbc，|axb|caxbc，
3、或axbc，然后根据a，b的取值求解即可；若c0，y0，xyp(定值)，当xy时，xy有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，xys(定值)，当xy时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)典型例题 (1)若a，bR，ab0，则的最小值为_(2)(2019金丽衢十二校高考二模)设A(x，y)|x2a(2xy)4a20，B(x，y)|y|b|x|，对任意的非空实数a，均有AB成立，则实数b的最大值为_【解析】(1)因为ab0，所以4ab24，当且仅当时取等号，故的最小值是4.(2)由x2a(2xy)4a20得yx22x4a，则|2|，当ax0时，24，所以|2|42|
4、2，即2，当ax0时，24，所以|2|42|6，即6，因为对任意实数a，均有AB成立，即|y|b|x|恒成立，即b恒成立，所以b2，故答案为2.【答案】(1)4(2)2利用不等式求最值的解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值 (3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值即化为ymBg(x)(A0，B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”
5、的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值对点训练1(2019温州市瑞安市高考模拟)若x0，y0，则的最小值为_解析：设t0，则t(2t1)2，当且仅当t时取等号故答案为：.答案：2(2018高考江苏卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_解析：因为ABC120，ABC的平分线交AC于点D，所以ABDCBD60，由三角形的面积公式可得acsin 120asin 60csin 60，化简得acac，又a0，c0，所以1，则4ac(4ac)5529，当且仅当c
6、2a时取等号，故4ac的最小值为9.答案：9专题强化训练1(2019金华十校联考)不等式(m2)(m3)0的一个充分不必要条件是()A3m0B3m2C3m4D1m3解析：选A.由(m2)(m3)0得3m2，即不等式成立的等价条件是3m2，则不等式(m2)(m3)0的一个充分不必要条件是(3，2)的一个真子集，则满足条件是3m0.故选A.2已知关于x的不等式(ax1)(x1)0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是()A2B2C4D2解析：选C.因为lg 2xlg 8ylg 2，所以x3y1，所以(x3y)24，当且仅当，即x，y时，取等号4若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，
7、则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.解析：选B.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1，2)、B(2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为1，所以线段AB的长度就是过A、B两点的平行直线间的距离，易得|AB|，即两条平行直线间的距离的最小值是，故选B.5(2019金丽衢十二校高三联考)若函数f(x)(a2)在区间(1，)上的最小值为6，则实数a的值为()A2B.C1D.解析：选B.f(x)2(x1)42424，当且仅当2(x1)x1时，等号成立，所以246a，故选B.6若不等式组的解集不是空集，则
8、实数a的取值范围是()A(，4B4，)C4，20D4，20)解析：选B.不等式x22x30的解集为1，3，假设的解集为空集，则不等式x24x(a1)0的解集为集合x|x3的子集，因为函数f(x)x24x(a1)的图象的对称轴方程为x2，所以必有f(1)4a0aa0，ab1，则下列不等式中正确的是()Alog3a0B3abClog2alog2b0可得log3alog31，所以a1，又ba0，ab1，所以a1，两者矛盾，所以A不正确；对于B，由3ab可得3ab31，所以ab1，可得a1a0，ab1矛盾，所以B不正确；对于C，由log2alog2b2可得log2(ab)2log2，所以aba0，ab
9、12，所以aba0，ab1，所以3326，所以D不正确故选C.9(2019绍兴市柯桥区高三期中)已知x，yR，()A若|xy2|x2y|1，则(x)2(y)2B若|xy2|x2y|1，则(x)2(y)2C若|xy2|x2y|1，则(x)2(y)2D若|xy2|x2y|1，则(x)2(y)2解析：选B.对于A，|xy2|x2y|1，由(x)2(y)2化简得x2xy2y1，二者没有对应关系；对于B，由(x2y)(y2x)|x2y|y2x|xy2|x2y|1，所以x2xy2y1，即(x)2(y)2，命题成立；对于C，|xy2|x2y|1，由(x)2(y)2化简得x2xy2y1，二者没有对应关系；对于
10、D，|xy2|x2y|1，化简(x)2(y)2得x2xy2y1，二者没有对应关系故选B.10若关于x的不等式x33x2axa20在x(，1上恒成立，则实数a的取值范围是()A(，3B3，)C(，3D3，)解析：选A.关于x的不等式x33x2axa20在x(，1上恒成立，等价于a(x1)x33x22(x1)(x22x2)，当x1时，13aa200成立，当x1时，x10，即ax22x2，因为yx22x2(x1)233恒成立，所以a3，故选A.11(2019温州市高三高考模拟)若关于x的不等式|x|xa|b的解集为(2，1)，则实数对(a，b)_解析：因为不等式|x|xa|b的解集为(2，1)，所以
11、，解得a1，b3.答案：(1，3)12若实数x，y满足xy0，且log2xlog2y1，则的最小值是_，的最大值为_解析：实数x，y满足xy0，且log2xlog2y1，则xy2，则22，当且仅当，即x2，y1时取等号，故的最小值是2，当且仅当xy，即xy2时取等号，故的最大值为，故答案为2，.答案：213(2019兰州市高考实战模拟)若变量x，y满足约束条件，则z2x的最大值为_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示又z2x2xy，令uxy，则直线uxy在点(4，0)处u取得最大值，此时z取得最大值且zmax24016.答案：1614已知函数f(x)，则关于x的不等式f(f(x)
12、3的解集为_解析：令f(t)3，若t0，则2t13，2t4，解得2t0；若t0，则t2t3，t2t30，解得t0，所以t2，即原不等式等价于或，解得x2.答案：(，215(2019宁波市九校联考)已知f(x)|xa|xa|2x2a(x0)的最小值为，则实数a_解析：f(x)|xa|xa|2x2a|(xa)(xa)|2x2a|2x2a2x2a22a42a.当且仅当2x，即x1时，上式等号成立由42a，解得a.答案：16(2019绍兴市柯桥区高三模拟)若|x2|xa|3a|2对x1，1恒成立，则实数a的取值范围为_解析：|x2|xa|3a|2化为2x2|xa|3a2x2，画出图象，可知，其几何意义
13、为顶点为(a，3a)的V字型在x1，1时，始终夹在y2x2，y2x2之间，如图1，图2所示，为两种临界状态，首先就是图1 的临界状态，此时V字形右边边界yx2a与y2x2相切，联立直线方程和抛物线方程可得x2x2a20，此时014(2a2)0a，而图2的临界状态显然a0，综上得，实数a的取值范围为.答案：17(2019温州模拟)已知a，b，cR，若|acos2xbsin xc|1对xR成立，则|asin xb|的最大值为_解析：由题意，设tsin x，t1，1，则|at2btac|1恒成立，不妨设t1，则|bc|1；t0，则|ac|1，t1，则|bc|1，若a，b同号，则|asin xb|的最
14、大值为|ab|acbc|ac|bc|2；若a，b异号，则|asin xb|的最大值为|ab|acbc|ac|bc|2；综上所述，|asin xb|的最大值为2，故答案为2.答案：218(2019丽水市第二次教学质量检测)已知函数f(x)(a0)(1)求函数f(x)的定义域；(2)若当x0，1时，不等式f(x)1恒成立，求实数a的取值范围解：(1)要使函数有意义，需4|ax2|0，即|ax2|4，|ax2|44ax242ax6.当a0时，函数f(x)的定义域为x|x；当a1；(2)对任意的b(0，1)，当x(1，2)时，f(x)恒成立，求a的取值范围解：(1)f(x)1x21|x1|或0x1.故不等式的解集为x|0x|xa|b(x)xab(x)或xa(b1)x或a(b1)x对任意x(1，2)恒成立所以a2b1或a(b2)对任意b(0，1)恒成立所以a1或a.