1、课时跟踪检测(四)空间向量基本定理A级基础巩固1设p：a，b，c是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B当非零向量a，b，c不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底当a，b，c为基底时，一定有a，b，c为非零向量因此p/ q，qp.2已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的是()A.B.C. D.或解析：选C(ab)，与a，b共面，a，b，不能构成空间基底3若向量，的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能
2、使向量，成为空间一个基底的关系的是()A.B.C.D.2解析：选CA中，因为1，所以M，A，B，C四点共面；B中，但可能，所以M，A，B，C四点可能共面；D中，因为2，所以M，A，B，C四点共面故选C.4在空间四点O，A，B，C中，若，是空间的一个基底，则下列命题不正确的是()AO，A，B，C四点不共线BO，A，B，C四点共面，但不共线CO，A，B，C四点不共面DO，A，B，C四点中任意三点不共线解析：选B选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则，构不成基底；选项D对应的
3、命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，构不成基底5在四面体OABC中，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A. B.C. D.解析：选A如图所示，连接AG1交BC于点E，则E为BC中点，()(2)，(2)因为33()，所以OGOG1.则().6若a，b，c是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xaybzc0，则x，y，z满足的条件是_解析：若x0，则abc，即a与b，c共面由a，b，c是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x0，同理yz0.答案：xyz07.如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间任一点，设a，
4、b，c，则向量用a，b，c表示为_解析：2，2()，ba2(c)，abc.答案：abc8.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点N为B1B的中点，则|等于_解析：()，|a.答案：a9已知平行六面体OABCOABC中，a，b，c.(1)用a，b，c表示向量；(2)设G，H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.解：(1)bac.(2)()()(abcb)(abcc)(cb)10如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，a，b，c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点(1)用基底a，b，c表示向量，；(2)化简，并在图中标出化简结果解：(1)abc.abc.a(b
5、c)abc.(2)().如图，连接DA1，则即为所求B级综合运用11已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足，N是BC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示向量为()A.abc B.abcCabc D.abc解析：选C因为空间四边形OABC中，M在AO上，满足，N是BC的中点，且a，b，c，所以()abc.故选C.12(多选)在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且mn，则()Am BmCn Dn解析：选AD根据空间向量基本定理，有，所以m，n，即n.13.如图所示，四面体OABC中，G，H分别是ABC，OBC的重心，设a，b，c，D为BC的中点，则_，_解析：
6、因为，而，又D为BC的中点，所以()，所以()()()(abc)又因为，()(bc)，所以(bc)(abc)a.所以(abc)，a.答案：(abc)a14.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N.设a，b，c.(1)试用a，b，c表示向量；(2)若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的长解：(1)()()(ca)a(ba)abc.(2)(abc)2a2b2c22ab2bc2ac11102112115，|abc|，|abc|，即MN.C级拓展探究15如果三个向量a，b，c不共面，求证：对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc.证明：如图，已知a，b，c不共面，过点O作a，b，c，p.过点P作直线PPOC，交平面OAB于点P，在平面OAB内过点P作PAOB，PBOA，分别与直线OA，OB交于点A，B，连接OP.于是存在唯一的三个实数x，y，z，使xxa，yyb，zzc，则xyz，所以pxaybzc.