1、第3讲立体几何中的向量方法(推荐时间：60分钟)一、填空题1两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2，0,2)，则l1与l2的位置关系是_2.在空间中，已知(2,4,0)， (1,3,0)，则ABC的大小为_3已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于_4过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是_5如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCOABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为_6如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A
2、BC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_7在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_8.在空间四边形ABCD中，a2c， 5a6b8c，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，则_.9已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_10在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_11如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值
3、是_12已知ABCDA1B1C1D1为正方体，（)232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确命题的序号是_二、解答题13已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC4，AA14，点M是棱D1C1的中点求直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值14.(2010全国)如图，四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABCD，ADCD，ABAD1，DCSD2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.(1)证明：SE2EB；(2)求二面角ADEC的大小15如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC底面ABCD，且PBPC
4、.(1)求证：ABCP；(2)求点B到平面PAD的距离；(3)设面PAD与面PBC的交线为l，求二面角AlB的大小答 案1平行 2135 3. 4455.a 660 760 83a3b5c9. 10.a 11. 1213解建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点的坐标为D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，C(0,2,0)，A1(4,0,4)，B1(4,2,4)，C1(0,2,4)，D1(0,0,4)于是，M(0,1,4).(0,1,4)，(4,0,4)，(0,2,4)设平面DA1M的法向量为n(x，y，z)，则，即.取z1，得x1，y4.所以平面DA1M的一个法向量为n(1,
5、4，1)设直线AB1与平面DA1M所成角为，则sin ，所以直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值为.14方法一(1)证明如图所示，连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DGGCBG1，即DBC为直角三角形，故BCBD.又SD平面ABCD，故BCSD，所以BC平面BDS，BCDE.作BKEC，K为垂足因为平面EDC平面SBC，故BK平面EDC，BKDE，即DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，所以DE平面SBC，所以DEEC，DESB.又DB，SB，DE，EB，SESBEB，所以SE2EB.(2)解由SA，AB1，SE2EB，ABSA，知 AE1.又AD1.故ADE为等腰三角形
6、取ED中点F，连结AF，则AFDE，AF.连结FG，则FGEC，FGDE.所以AFG是二面角ADEC的平面角连结AG，AG，FG.cosAFG.所以二面角ADEC的大小为120.方法二(1)证明以D为坐标原点，线段DA，DC，DS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的直角坐标系Dxyz，设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)S(0,2，2)，B(1,1,0)设平面SBC的法向量为n(a，b，c)，由nS，nB，得nS0，nB0.故2b2c0，ab0.令a1，则b1，c1，n(1,1,1)又设S(0)，则E，D，D(0,2,0)设平面CDE的法向量m(
7、x，y，z)，由m，m，得m0，m0.故0,2y0.令x2，则m(2,0，)由平面DEC平面SBC，得mn所以mn0,20，2.故SE2EB.(2)解由(1)知，取DE中点F，则F，故0，由此得FADE.又，故0，由此得ECDE，向量F与E的夹角等于二面角ADEC的平面角于是cosF，E，所以二面角ADEC的大小为120.15. (1)证明以BC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，A(1，2,0)，C(1,0,0)，P(0,0,2)，D(1，2,0)(0,2,0)，(1,0,2)，则有0，.即ABCP.(2)解设平面PAD的法向量为n(x，y，z)，则由得令x0，则y1，z1，得n(0,1，1)，又(1,0,2)，点B到平面PAD的距离d.(3)解由(2)知平面PAD的法向量n(0,1，1)，而平面PBC平面ABCD，平面PBC的法向量m(0,1,0)二面角AlB的余弦值为.由图形知二面角AlB为锐二面角，二面角AlB的大小为45.高考资源网w w 高 考 资源 网