1、高考总复习第（1）轮理科数学第四单元三角函数与解三角形第22讲 任意角的三角函数1了解任意角的概念了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化2理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三角函数的符号规律及三角函数的定义域3掌握扇形的弧长公式及面积公式1角的概念(1)任意角：角可以看做平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始时的射线OA叫作角的_，射线的端点O叫作角的_.按_时针方向旋转形成的角叫作正角，按 _时针方向旋转形成的角叫作负角，若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个_角(2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与_重合，角的始边与_重合，那
2、么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(3)终边相同的角：所有与终边相同的角，连同在内，可构成一个集合_或_，前者用角度制表示，后者用弧度制表示始边顶点逆顺零坐标原点x轴的非负半轴|k360，kZ|2k，kZ 2弧度制(1)定义：把长度等于_长的弧所对的_叫 1 弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作_.正角的弧度数是一个_，负角的弧度数是一个_，零角的弧度数是_.(2)度与弧度的换算关系：180_ rad，1_ rad,1 rad _ 度(3)扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为 R，弧长为 l，面积为 S，圆心角为(00)，那么：sin yr，cos xr，tan yx(x
3、0)2.三角函数值的符号规律sin cos tan 概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦1角840的终边所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：因为8403360240，而 240的终边在第三象限，所以840的终边在第三象限 答案：C2若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4 cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是()A4 cm2B2 cm2C8 cm2D2 cm2解：因为lr，所以r422，所以S12lr12424 cm2.答案：A 3已知角 的终边经过点(3,-4)，则 cos()A.45B.35C35D45解：因为 r 32（4）25，所以由三角函数的定义知 cos 35
4、.答案：B 4若 cos 0，则 是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案：C 5在0,2上满足 sin x12的 x 的取值范围是()A.0，6 B.6，56 C.6，23 D.56，解：利用三角函数线，画出单位圆可知，选B.答案：B 角的概念任意角的三角函数的定义弧度制的应用考点1角的概念【例1】已知1690.(1)把表示成2k(kZ，0,2)的形式，则_；(2)所在的象限为_解：(1)16901690 18016918 82518.所以422518.(2)因为422518，又251832，所以在第三象限答案：(1)422518(2)第三象限【变式探究】1已知 sin 0
5、，则2所在的象限是()A第一象限B第三象限 C第一或第三象限D第二或第四象限 解：因为 sin 0，所以 为第四象限角，即 2k32 2k2，kZ，k34 2k，kZ，当 k 为偶数时，2为第二象限角；当 k 为奇数时，2为第四象限角 点评：(1)角度与弧度进行互化，关键是抓住180 rad这一关系(2)判断一个角所在的象限，关键是在0,2)内找到与该角终边相同的角考点2任意角的三角函数的定义【例 2】(1)(2019衡水武邑模拟)已知角 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在射线 4x3y0(x0)上，则 cos sin.(2)(2018河北省石家庄第二次月考)在直角坐标系中，P 点的坐标为
6、(35，45)，Q 是第三象限内一点，|OQ|1 且POQ34，则 Q 点的横坐标为.解：(1)因为角 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在射线 4x3y0(x0)上，不妨令 x3，则 y4，所以 r5.所以 cos xr35，sin yr45.所以 cos sin 354515.(2)设xOP，则 cos 35，sin 45，则 xQcos(34)35(22)45 22 7 210.答案：(1)15(2)7 210【变式探究】2（1）已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴若点 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin 2 55，则 y_.(2)点 P 从(1,0)出发，沿单位圆顺
7、时针方向运动73 弧长到达点 Q，则点 Q 的坐标为()A(12，32)B(32，12)C(12，32)D(32，12)解：（1）根据 sin 2 55 0 及 P(4，y)是角 的终边上一点，可知 是第四象限角，再由三角函数的定义得，y42y22 55，又因为 y0，所以 y8，y8(舍去)综上知 y8.(2)设 Q 的坐标为(x，y)，则 xcos(73)cos(23)cos(3)12，ysin(73)sin(23)sin(3)32.即 Q 点坐标为(12，32)点评：(1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用角的终边上一点的坐标进行定义，其二是利用单位圆进行定义(2)一个角的三角函数
8、只与这个角的终边位置有关，利用定义求三角函数值时，要注意角的终边所在象限，当终边所在象限不定时，要注意根据终边位置分类讨论(3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角 的意义，注意角的始边及旋转方向考点3弧度制的应用【例 3】一扇形的周长为 8 cm求使扇形面积最大时，扇形的半径、圆心角和扇形的面积解：设扇形的圆心角为，半径为 r，弧长为 l，面积为 S，则 l2r8，所以 l82r，S12lr12(82r)rr24r(r2)24.当 r2 时，Smax4(cm2)，此时，lr82222(弧度)所以当扇形圆心角 2，半径为 2 cm 时，扇形面积最大，最大面积为 4 cm2.【变式探究】3(20
9、18河北五校高三联考)向圆(x2)2(y 3)24内随机投掷一点，则该点落在 x 轴下方的概率为_ 解：由题意，设圆心为 C，圆与 x 轴的交点为 A，B，则ACB3，该点落在 x 轴下方的部分为一弓形，其面积等于一圆心角为3扇形减去一个等边三角形的面积因为 S 扇形12rl12r21222323，SACB1222sin3 3，所以弓形的面积为23 3，又圆的面积为 4，所以该点落在 x 轴下方的概率为23 3416 34.点评：只要确定扇形的半径 r，弧长 l和圆心角 三个中的两个，这个扇形就确定了这三个量间的关系是 l|r.1要掌握区间角、象限角和终边相同的角的表示方法，特别要注意它们的区
10、别与联系求与 终边相同的角的集合时，先找出 02 范围内与 终边相同的角，再加上 2k 即可2要熟悉角的弧度制与角度制间的换算关系，并注意角的表示中，角度制和弧度制不能在同一表示中使用掌握弧长公式l|r，扇形面积公式 S12lr12|r2，并注意其中角 为圆心角的弧度数3三角函数的定义是三角函数的基础和出发点，正确理解三角函数的定义，是掌握三角函数的定义域、三角函数在各象限内的符号以及三角函数的诱导公式、同角三角函数之间的关系以及后续内容学习的基础根据三角函数的定义可知：一个角的三角函数只与这个角的终边的位置有关，即角 与 2k(kZ)的同名三角函数值相等；|x|r，|y|r，故有|sin|1，|cos|1，这是三角函数中最基本的一组关系点击进入WORD链接
