1、高考总复习第（1）轮理科数学第三单元导数及其应用第21讲 定积分1了解定积分的实际背景、基本思想、概念 2了解微积分的基本定理的含义 3会计算简单函数的定积分 1.定积分的定义(1)分割：n 等分区间a,b；(2)近似代替：取点 ixi1，xi(i1,2,n)；(3)求和：i1n ban f(i)；(4)取极限：abf(x)dxlimni1nf(i)ban.2.定积分的几何意义(1)当函数 f(x)在区间a，b上连续且恒为正时，定积分abf(x)dx 的几何意义是由直线 xa，xb(ab)，y0 和曲线 yf(x)所围成的曲边梯形(图(1)中阴影部分所示)的_.(2)一般情况下，定积分abf(
2、x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线xa，xb(ab)之间的曲边梯形(图(2)中阴影部分所示)面积的_，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的_，在 x 轴下方的面积等于该区间上的_的_面积代数和积分值相反数积分值3.定积分的基本性质(1)abkf(x)dx_(k 为常数)；(2)abf1(x)f2(x)dx_；(3)abf(x)dx_(其中 ac0)上连续，则有(1)若 f(x)为偶函数，则()daa f xx20af(x)dx.(2)若 f(x)为奇函数，则()daa f xx0.1.设函数 f(x)在a，b上连续，将a，bn 等分，在每个小区间上任取 i，则abf(
3、x)dx 是()A.limni1nf(i)B.limni1nf(i)ban C.limni1nf(i)iD.limni1nf(i)(ii1)答案：B 2.定积分11|x|dx 的值为()A.4 B.2C.1 D.12解：(方法 1)利用定积分的几何意义：如图，定积分的值为下图中阴影部分的面积 所以11|x|dx212111.(方法 2)利用定积分的性质：因为 f(x)|x|x，1x0，x，0 x1.所以11|x|dx01(x)dx10 xdx 2 0112 x 2 1012 x 12(01)12(10)1.答案：D 3.若 S112x2dx，S2121xdx，S312exdx，则 S1，S2，
4、S3的大小关系为()A.S1S2S3 BS2S1S3C.S2S3S1DS3S2e73ln 2.答案：B 4.(经典真题)02(x1)dx_.解：02(x1)dx(12x2x)20122220.答案：0 5.(2019唐山一模)曲线 yx2与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为_.解：如图，阴影部分的面积即为所求 由yx2，yx，得 A(1,1)故 S01(xx2)dx(12x213x3)|1016.答案：16 定积分的计算定积分的应用求图形面积定积分的应用求变速运动的路程考点1定积分的计算【例 1】计算下列定积分：(1)20(sin x2cos x)dx_；(2)(2017江西九校联考)01(
5、2x 1x2)dx.解：(1)20(sin x2cos x)dx20sin xdx220cos xdx(cos x)2sin xcos2(cos 0)2(sin2sin 0)1.(2)01 1x2dx 表示以原点为圆心，以 1 为半径的圆的面积的14，所以01 1x2dx4.又012xdxx2101.所以01(2x 1x2)dx012xdx01 1x2dx14.答案：(1)1(2)14【变式探究】1计算下列定积分：(1)1e(x1x1x2)dx_；(2)01(1x122x)dx_.解：(1)1e(x1x1x2)dx 1exdx1e1xdx1e 1x2dx 12x2|e1ln x|e11x|e1
6、 12(e21)(ln eln 1)(1e1)12e21e32.(2)因为01(1x122x)dx 01 1x12dx012xdx，由 y 1x12，得(x1)2y21(y0)，根据积分范围知 0 x1，所以01 1x12dx 表示圆心在(1,0)，半径为 1 的四分之一圆的面积，所以01 1x12dx4.又012xdxx2|101，所以01(1x122x)dx41.点评：(1)计算定积分的基本方法有：利用微积分基本定理；利用定积分的几何意义(2)利用微积分基本定理的基本步骤：求 f(x)的一个原函数 F(x)，计算 F(b)F(a)其关键是求出函数 f(x)的一个原函数 F(x)，即求满足F
7、(x)f(x)的原函数 F(x)可利用求导运算与积分互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的运算法则从反方向上求出 F(x)(3)对函数图象与圆有关的定积分可以考虑利用定积分的几何意义求解考点2定积分的应用求图形面积【例 2】(2019广西玉林一模)由曲线 y x，直线 yx2 及 y轴围成的图形的面积为()A.103B4 C.163D6解：如图，阴影部分的面积为所求 由y x，yx2，得 x4，所以所求图的面积为04(xx2)dx(2332x 12x22x)|40163.答案：C【变式探究】2.(2019陕西一模)直线 y4x 与曲线 yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2
8、 2B4 2C2 D4解：画出图形如右：由y4x，yx3，得 4xx3，解得 x0 或 x2.所以 S02(4xx3)dx(2x214x4)|204.点评：用定积分求图形面积的一般步骤：(1)画出图形，确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，确定积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积 考点3定积分的应用求变速运动的路程【例 3】一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)73t 251t(t 的单位：s,v 的单位：m/s)行驶而停止在此期间汽车继
9、续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln113C425ln 5 D450ln 2解：令 v(t)73t 251t0，得 t4(舍去负值)则汽车的刹车距离是 04(73t 251t)dt7t32t225ln(1t)|40 425ln 5.答案：C【变式探究】3一物体做变速直线运动，其 vt 曲线如图所示，则该物体在12s6s 间运动的路程为_.解：v(t)2t 0t121t313t130，mQ 且 m1)；1xdxln|x|C;exdxexC；axdx axln aC(a0，且 a1);cos xdxsin xC；sin xdxcos xC.(其中 C 均为常数)(2)利用定积分的几何意义求定积分：将其转化为求某一曲边梯形的面积2定积分的简单应用：(1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积(2)定积分在物理中的应用：求变速直线运动的路程：sabv(t)dt(v(t)为速度函数)；求变力所做的功：WabF(x)dx.点击进入WORD链接
