1、高考总复习第（1）轮理科数学第二单元函数第14讲 函数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中的普遍使用的函数模型)的广泛应用1幂函数、指数函数、对数函数模型增长的差异在区间(0，)，尽管 yax(a1)、ylogax(a1)和 yxn(n0)都是_，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着 x 的增长，yax(a1)的增长速度越来越 快，会超过并远远_yxn(n0)的增长速度，而 ylogax(a1)的增长速度则会越来越 慢，因而
2、总存在一个 x0，当 xx0 时，就会有_.增函数大于logaxxn1)2应用问题的解法解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把_抽象转化为_，然后再用相应的数学知识去解决，其一般步骤为：(1)审题：阅读题目、理解题意，分析题目中的条件和结论，理顺有关数量关系；(2)建模：设置变量、将文字语言、图表语言等转换成符号语言，建立适当的数学模型；(3)解模：应用数学知识和数学方法求解数学模型，得到数学问题的结论；(4)作答：将所得数学结论还原为实际问题的意义，进行简要的回答实际问题数学问题1指数增长模型：设原有总量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到 y，则 yN(1p)x.
3、2解函数应用问题的基本步骤1当 x0 时，比较 ylog5x，y5x，yx5 三个函数，下列说法正确的是()Ay5x 的图象始终在最上方B当 x 增长到足够大时，y5x 的图象始终在最上方Cyx5 的图象与 y5x 的图象会不断穿插交汇，有无数个交点Dylog5x 的图象与 yx5 的图象有一个交点解：画出三个函数的图象，并结合它们的增长情况分析应选 B.答案：B2方程 x22x 解的个数为()A1B2C3D4解：画出 yx2 和 y2x的图象，结合它们的增长情况，观察它们有 3 个交点，所以有 3 个解 答案：C3某市生产总值两年持续增加，第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这
4、两年生产的年平均增长率为()A.pq2B.p1q112C.pqD.p1q11解：年平均增长率为 x，则(1x)2(1p)(1q)，所以 x p1q11.答案：D4一种产品的年产量原来是 a 件，在今后 m 年内，计划使年产量平均每年比上一年增加 p%，则年产量 y 随经过年数x 变化的函数关系式为_.答案：ya(1p%)x(xN*，且 xm)5用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大设隔墙的长度为 x，矩形的面积为 S.(1)S 关于 x 的函数关系为_；(2)当 x_时，S 有最大值_.答案：(1)S2x212x(0 x1010，得(32)x108，两边取以 1
5、0 为底的对数，得 xlg328，所以 x8lg 3lg 2，因为8lg 3lg 280.47710.301045.43，所以 x45.43.即至少经过 46 小时，细胞总数超过 1010 个答案：(1)100(32)x，xN*；(2)46【变式探究】2(2016四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018 年B2019 年 C2020 年
6、D2021 年 解：设 2015 年后的第 n 年，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元，由 130(112%)n200，得 1.12n2013，两边取对数，得 nlg 2lg 1.3lg 1.120.300.110.05195，所以 n4，所以从 2019 年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元 点评：(1)在求解应用题时，要在认真审清题意，理顺关系上下功夫，设计合理的解题方案(2)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示通常可以表示为 yN(1p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式考点3分段函数模型【例 3
7、】(2018山东日照质检)在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，在保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3600 元后，逐步偿还转让费(不计息)，在甲提供的资料中：这种消费品的进价每件 14 元；该店月销量 Q(百件)与销售单价 P(元/件)的关系如图所示；该店每月需各种开支 2000 元 (1)写出月销量 Q(百件)与销售单价 P(元/件)的关系，并求该店的月利润 L(元)关于销售单价 P(元/件)的函数关系式(该店的月利润月销售利润
8、该店每月支出)；(2)当商品的价格为每件多少元时，该店的利润最大？并求该店的月利润的最大值；(3)若企业乙只依靠该店，最早可望在多少年后脱贫(无债务)?解：(1)由题设得，Q2P50（14P20），32P40（20P26）.LQ(P14)1002000.因此，L（2P50）（P14）1002000（14P20）（32P40）（P14）1002000（20P26）200（P239P360）（14P20），100（32P261P580）（20P26）.(2)当 14P20 时，求得 Lmax4050，此时 P392 19.5；当 20120503，所以，当 P19.5 元时，月利润最大，为 405
9、0 元(3)设可在 n 年后脱贫(无债务)依题意有 12n(40503600)50000580000，解得 n20，即最早在 20 年后脱贫3.某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器增加投入 100 元，已知总收益满足函数：R(x)400 x12x2 0 x400，80000 x400，其中 x 是仪器的月产量(1)将利润 f(x)表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益总成本利润)【变式探究】分析：(1)由已知总收益总成本利润，知道利润总收益总成本由于 R(x)是分段函数，所以利润 f(x)也是分段函数；(2)分别求
10、出 f(x)各段中的最大值，通过比较就可以求出f(x)的最大值解：(1)设月产量为 x 台，则总成本为 20000100 x，从而：f(x)12x2300 x20000 0 x400，60000100 xx400.(2)当 0 x400 时，f(x)12(x300)225000，当 x300 时，有最大值 25000；当 x400 时，f(x)60000100 x 是减函数，则 f(x)600001004002000025000.所以当 x300 时，f(x)有最大值 25000.所以当月产量为 300 台时，公司所获利润最大，最大利润是25000 元点评：(1)分段函数的特征是每一段自变量所遵循的规律不同，因此，要根据每一段上函数表达式的特点选择相应的求解方法(2)分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后进行比较 1解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归结为相应的数学问题二是要合理选取参变量，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型，最终求解数学模型使实际问题获解2在引入自变量建立目标函数解决实际问题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验结果，看是否符合实际问题的要求点击进入WORD链接