1、62平面向量的运算62.1向量的加法运算新课程标准解读核心素养借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算，理解其几何意义数学抽象，直观想象如图所示，李敏同学上午从家(点A)到达了公园(点B)，下午从公园(点B)到达了舅舅家(点C)问题(1)分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这一天的位移；(2)这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？知识点一向量加法的定义及其运算法则1向量加法的定义：求两个向量的运算，叫做向量的加法2向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作，则向量叫做a与b的和，记作ab，即ab平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b，作
2、，以OA，OB为邻边作OACB，则对角线上的向量ab向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与实质(1)区别：三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和(2)实质：三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，当两个向量不共线时，两种加法法则在本质上是一致的 两个向量的和还是向量吗？提示：是1在ABC中，a，b，则ab等于()A.B.C. D.解析：选D.故选D.2在矩形ABCD中，_解析：根据向量加法的平行四边形法则知，.答案：知识点二向量加法的运算律交换律结合律abbaa(b
3、c)(ab)c多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(ab)(cd)(bd)(ac)；abcded(ac)(be) 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)0aa0a.()(2)0.()(3)a(bc)c(ab)()答案：(1)(2)(3)2已知非零向量a，b，c，则向量(ac)b，b(ac)，b(ca)，c(ba)，c(ab)中，与向量abc相等的个数为()A2 B3C4 D5解析：选D由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与abc相等3化简_解析：()0.答案：0知识点三|ab|与|a|，|b|之间的关系对任意两个向量a，b，有|ab|a|b|，当且仅当a，
4、b方向相同时等号成立如果|8，|5，那么|的最大值为_答案：13求作向量的和例1(链接教科书第8页例1)(1)如图，用向量加法的三角形法则作出ab；(2)如图，用向量加法的平行四边形法则作出ab.解(1)在平面内任取一点O，作a，b，再作向量，则ab.如图所示(2)在平面内任取一点O，作a，b，以OA，OB为邻边作OACB，则ab.如图所示求作和向量的方法(1)利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和一定要注意首尾相接；(2)利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在
5、线段为邻边作平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和 跟踪训练如图所示，已知向量a，b，c不共线，作向量abc.解：如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab；再作c，以OB，OC为邻边作OBDC，则abc.向量的加法及运算律例2化简：(1)()()；(2).解 (1)法一：()()()().法二：()()()0.(2)()()0.向量加法运算的几个注意点(1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0；(2)运用多边形法则进行向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后
6、一个向量的终点 跟踪训练1向量()A.B.C. D.解析：选A向量.故选A.2.如图，四边形ABDC为等腰梯形，ABCD，ACBD，CD2AB，E为CD的中点试求：(1)；(2)；(3).解：由已知得四边形ACEB，四边形ABDE均为平行四边形(1)；(2)；(3)()0.向量加法的实际应用例3(链接教科书第9页例2)在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向解作出图形，如图船速v船与岸的方向成角，由图可知v水v船v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形在RtACD中，|v水|10 m/min，|v船|2
7、0 m/min，cos ，60.故船行进的方向是与水流的方向成120角的方向母题探究1(变条件)本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航行”，其他条件不变，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角)解：如图所示，|v船|20 m/min，|v水|10 m/min，则tanBAC2，即为所求2(变设问)若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少km?解：由题意可知|2010(m/min)(km/h)，则经过3小时，该船的实际航程是3(km)向量加法应用的关键及技巧(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则
8、作出向量的和向量；(2)应用技巧：准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解 跟踪训练一架救援直升飞机从A地沿北偏东60方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置解：如图所示，设，分别是直升飞机两次的位移，则表示两次位移的合位移，即.在RtABD中，|20 km，|20 km.在RtACD中，|40 km，CAD60，即此时直升飞机位于A地北偏东30方向，且距离A地40 km处向量加法三角形法则的推广2018年7月18日，在加拿大蒙特利尔举行的机器人世界杯比赛，在最
9、终决赛中，中国浙江大学队以40的比分战胜了美国卡耐基梅隆大学队，获得了冠军机器人在赛场上能“多人协作”进行断球、传球，能够做出假动作迷惑对手，还可以通过人工智能技术对球场局势进行相应的判断在比赛过程中，中国浙江大学队的机器人甲采用迂回战术带球射门，行走的路线如图，从点A开始绕灰色区域走一圈，最终骗过对方队员，成功踢进一球，这名射手激动地跳起了如图所示的正多边形舞，跳舞的方式是从点P开始，沿正东方向行进1米，逆时针方向旋转角，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向旋转角，按直线向前行进1米，最终回到起点成功踢入一球后，甲、乙、丙、丁四名射手按图的路线组织传球，又进了一球最终中国浙江大学队踢进4球，
10、以40的成绩获得了机器人足球世界杯冠军！问题探究1当45时，请画出射手的跳舞轨迹，并说明跳多少步时位移为0，请作图说明(假设机器人跳1步为1米)提示：射手的跳舞轨迹为如图所示的正八边形，其中边长为1 m，跳8步时，射手回到起点，所以当射手跳8n(nN*)步时，射手的位移为零2要使射手能回到出发点，跳舞时设定的应满足什么条件？提示：要使射手能回到出发点，只需射手的位移为零按上述方式作图，则所作图形是内角为180的正多边形，由多边形的内角和定理可得n(180)(n2)180，解得，且n3，nN*.故应满足的条件为，且n3，nN*.迁移应用甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东3
11、0的方向将球传2 m给机器人乙，然后机器人乙按南偏东30的方向将球传2 m给机器人丙，机器人丙再按西南方向传 m给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小解：根据题意画出示意图如图，用A，B，C，D分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，则球的位移为，故球的最终位移为，依题意知ABC为正三角形，故|AC2 m.又因为ACD45，CD m，所以ADC90，所以ACD为等腰直角三角形，所以| m.1正方形ABCD的边长为1，则|()A1B.C3D2解析：选B在正方形ABCD中，AB1，易知AC，所以|AC.2化简等于()A. B. C0 D.解析：选D.3.(多选)如图，已知D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是()A.B.0C.D.解析：选ABCA、B显然正确；，C正确；由向量加法的平行四边形法则，可知，D不正确4若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，求：(1)|ab|；(2)指出向量ab的方向解：(1)如图所示，作a，b，则ab，所以|ab|8 km .(2)因为|a|b|，所以AOB45，所以ab的方向是东北方向