1、课时作业54直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1直线yx和圆x2y24x2y200(A)A相交且过圆心 B相交但不过圆心C相离 D相切解析:将圆的方程配方,得(x2)2(y1)225,圆心为(2,1),半径r5,将(2,1)代入yx中,得21,故直线过圆心,与圆相交,故选A.2圆x2y24与圆(x3)2(y4)249的位置关系为(A)A内切 B相交C外切 D相离解析:圆x2y24的圆心为(0,0),半径为2,圆(x3)2(y4)249的圆心为(3,4),半径为7,圆心距为572(等于两圆半径的差),圆x2y24与圆(x3)2(y4)249的位置关系是内切,故选A.3过原点且倾斜角为30的直线
2、被圆x2(y2)24所截得的弦长为(D)A1 B.C. D2解析:由题意得直线方程为yx,即xy0.圆心(0,2)到直线xy0的距离d,弦长为22,故选D.4(2020佛山调研)已知圆O1的方程为x2y21,圆O2的方程为(xa)2y24,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是(A)A1,1,3,3 B5,5,3,3C1,1 D3,3解析:由题意得两圆的圆心距d|a|213或d|a|211,解得a3或a3或a1或a1,所以a的所有取值构成的集合是1,1,3,35圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为的点共有(C)A1个 B2个C3个 D4个解析:圆的方程化为(x1
3、)2(y2)28,圆心(1,2)到直线距离d,半径是2,结合图形可知有3个符合条件的点6已知直线x2ya0与圆O:x2y22相交于A,B两点(O为坐标原点),且AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为(B)A.或 B.或C. D.解析:因为直线x2ya0与圆O:x2y22相交于A,B两点(O为坐标原点),且AOB为等腰直角三角形,所以O到直线AB的距离为1,由点到直线的距离公式可得1,所以a.7(2020重庆市七校联考)两圆x2y24x4y0和x2y22x80相交于两点M,N,则线段MN的长为(D)A. B4C. D.解析:两圆方程相减,得直线MN的方程为x2y40,圆x2y22x80的标准形式
4、为(x1)2y29,所以圆x2y22x80的圆心为(1,0),半径为3,圆心(1,0)到直线MN的距离d,所以线段MN的长为2.故选D.8(2020合肥市第二次教学质量检测)在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点(0,1),(0,3),且与x轴正半轴相切,若圆C上存在点M,使得直线OM与直线ykx(k0)关于y轴对称,则k的最小值为(D)A. B.C2 D4解析:由圆C过点(0,1),(0,3)知,圆心的纵坐标为2,又圆C与x轴正半轴相切,所以圆的半径为2,则圆心的横坐标x,即圆心为(,2),所以圆C的方程为(x)2(y2)24.因为k0,所以k取最小值时,直线ykx与圆相切,可得2,即k24k
5、0,解得k4(k0舍去),故选D.二、填空题9已知圆(x2)2(y1)216的一条直径通过直线x2y30被圆所截弦的中点,则该直径所在直线的方程为2xy30.解析:由题意知,已知圆的圆心坐标为(2,1)弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直,且直线x2y30的斜率为,该直径所在直线的斜率为2,所求直线方程为y12(x2),即2xy30.10已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点,且圆C与圆(x2)2(y3)28相外切,则圆C的方程为(x1)2y22.解析:由题意知圆心C(1,0),其到已知圆圆心(2,3)的距离d3,由两圆相外切可得R2d3,即圆C的半径R,故圆C的标准方程为(x1)2y22
6、.11已知两圆相交于两点A(1,3),B(m,1),若两圆圆心都在直线xyc0上,则mc的值是3.解析:由题意,直线xyc0垂直平分线段AB,则kAB1,得m5,所以线段AB的中点为(3,1),所以31c0,则c2,所以mc3.12已知直线l:xy3与圆C:(xa)2(y5)210交于A,B两点,圆C在点A,B处的切线l1,l2相交于点P,则四边形ACBP的面积为5.解析:由平面几何知识得点P与圆心C的连线PC与直线l垂直,则1,解得a2,则|PC|.因为圆心C(2,5)到直线l:xy30的距离d2,所以|AB|22,则四边形ACBP的面积为S四边形ACBP25.三、解答题13已知圆C经过点A
7、(2,1),和直线xy1相切,且圆心在直线y2x上(1)求圆C的方程;(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程解:(1)设圆心的坐标为C(a,2a),则.化简,得a22a10,解得a1.C(1,2),半径r|AC|.圆C的方程为(x1)2(y2)22.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为ykx,由题意得1,解得k,直线l的方程为yx,即3x4y0.综上所述,直线l的方程为x0或3x4y0.14如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2y24x0及点A(1,0),B(1,2)
8、(1)若直线l平行于AB,与圆C相交于M,N两点,|MN|AB|,求直线l的方程;(2)在圆C上是否存在点P,使得|PA|2|PB|212?若存在,求点P的个数;若不存在,说明理由解:(1)圆C的标准方程为(x2)2y24,所以圆心C(2,0),半径为2.因为lAB,A(1,0),B(1,2),所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为xym0,则圆心C到直线l的距离为d.因为|MN|AB|2,而|CM|2d22,所以42,解得m0或m4,故直线l的方程为xy0或xy40.(2)假设圆C上存在点P,设P(x,y),则(x2)2y24,|PA|2|PB|2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212
9、,化简得x2y22y30,即x2(y1)24.因为|22|0),因为H被直线xy10,xy30分成面积相等的四部分,所以圆心H(m,n)一定是两互相垂直的直线xy10,xy30的交点,易得交点坐标为(2,1),所以m2,n1.又H截x轴所得线段的长为2,所以r212n22.所以H的方程为(x2)2(y1)22.(2)设N(x0,y0),由题意易知点M是PN的中点,所以M.因为M,N两点均在H上,所以(x02)2(y01)22,222,即(x0a4)2(y02)28,设I:(xa4)2(y2)28,由知H与I:(xa4)2(y2)28有公共点,从而2|HI|2,即3,整理可得2a24a518,解得2a1或3a2,所以实数a的取值范围是2,13,2