1、24圆的方程24.1圆的标准方程新课程标准解读核心素养回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程直观想象、数学运算月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽”问题如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？知识点一圆的标准方程1圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径2圆的要素：圆心和半径，如图所示3圆的标准方程：圆心为
2、A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2当ab0时，方程为x2y2r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆1当圆心在原点即A(0，0)时，方程为x2y2r2.2当圆心在原点即A(0，0)，半径r1时，方程为x2y21，称为单位圆3相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆()(2)若圆的标准方程为(xm)2(yn)2a2(a0)，此圆的半径一定是a.()答案：(1)(2)2给定圆的方程：(x2)2(y8)29，则过坐标原点和圆心的直线方程为()A4xy0B4
3、xy0Cx4y0 Dx4y0解析：选B由圆的标准方程，知圆心为(2，8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y4x，即4xy0.3经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是_解析：圆心是(2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x2)2y24.答案：(x2)2y24知识点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆外|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆内|CM|r(x0a)2(y0b)24，故点P在圆外求圆的标准方程例1(链接教科书第83页例2)求经过
4、点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上的圆的标准方程解法一(待定系数法)：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得圆的标准方程是(x4)2(y3)225.法二(几何法)：由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为xy10.弦的垂直平分线过圆心，由得即圆心坐标为(4，3)，半径r5.圆的标准方程是(x4)2(y3)225.求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷
5、跟踪训练1圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，4)，则圆的标准方程为_解析：设圆心为C(0，b)，则(30)2(4b)252，b0或b8，圆心C的坐标为(0，0)或(0，8)，又r5，圆的标准方程为x2y225或x2(y8)225.答案：x2y225或x2(y8)2252已知ABC的三个顶点坐标分别为A(0，5)，B(1，2)，C(3，4)，求该三角形的外接圆的标准方程解：法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.因为A(0，5)，B(1，2)，C(3，4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有解得故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.法二：因为A(0，5)，B(
6、1，2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y，即x7y100.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2xy50.由得圆心的坐标为(3，1)，又圆的半径r5，故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.点与圆的位置关系例2(链接教科书第83页例1)已知圆N的标准方程为(x5)2(y6)2a2(a0)(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围解(1)因为点M在圆上，所以(65)2(96)2a2，又a0，可得a.(2)由两点间距离公式可得，|PN|，|QN|3.因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3，所以3a.即a的取值范围是(3，)判断点与圆的位置关系的方法(1)确定圆的方程：化为(xa)2(yb)2r2；(2)将点的坐标代入代数式(xa)2(yb)2，比较代数式的值与r2的大小关系；(3)下结论：若(x0a)2(y0b)2r2，表示点在圆上；若(x0a)2(y0b)2r2，表示点在圆外；若(x0a)2(y0b)2r2，表示点在圆内此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断当dr时，点在圆外；当dr时，点在圆上；当d1，169a21，a2，a或a.答案：
