1、24圆的方程24.1圆的标准方程新课程标准解读核心素养回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程直观想象、数学运算月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、吟咏月亮有诗道:“明月四时有,何事喜中秋?瑶台宝鉴,宜挂玉宇最高头;放出白豪千丈,散作太虚一色万象入吾眸,星斗避光彩,风露助清幽”问题如果把天空看作一个平面,在上面建立一个平面直角坐标系,那么月亮的坐标方程如何表示?知识点一圆的标准方程1圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径2圆的要素:圆心和半径,如图所示3圆的标准方程:圆心为
2、A(a,b),半径为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2当ab0时,方程为x2y2r2,表示以原点为圆心、半径为r的圆1当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2y2r2.2当圆心在原点即A(0,0),半径r1时,方程为x2y21,称为单位圆3相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的 1判断正误(正确的画“”,错误的画“”)(1)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆()(2)若圆的标准方程为(xm)2(yn)2a2(a0),此圆的半径一定是a.()答案:(1)(2)2给定圆的方程:(x2)2(y8)29,则过坐标原点和圆心的直线方程为()A4xy0B4
3、xy0Cx4y0 Dx4y0解析:选B由圆的标准方程,知圆心为(2,8),则过坐标原点和圆心的直线方程为y4x,即4xy0.3经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径为2的圆的方程是_解析:圆心是(2,0),半径是2,所以圆的方程是(x2)2y24.答案:(x2)2y24知识点二点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆C:(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆外|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆内|CM|r(x0a)2(y0b)24,故点P在圆外求圆的标准方程例1(链接教科书第83页例2)求经过
4、点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x3y10上的圆的标准方程解法一(待定系数法):设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2,则有解得圆的标准方程是(x4)2(y3)225.法二(几何法):由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为xy10.弦的垂直平分线过圆心,由得即圆心坐标为(4,3),半径r5.圆的标准方程是(x4)2(y3)225.求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)及半径r,其求解的方法:一是待定系数法,建立关于a,b,r的方程组,进而求得圆的方程;二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化较为简捷
5、跟踪训练1圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,4),则圆的标准方程为_解析:设圆心为C(0,b),则(30)2(4b)252,b0或b8,圆心C的坐标为(0,0)或(0,8),又r5,圆的标准方程为x2y225或x2(y8)225.答案:x2y225或x2(y8)2252已知ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5),B(1,2),C(3,4),求该三角形的外接圆的标准方程解:法一:设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.因为A(0,5),B(1,2),C(3,4)都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的标准方程,于是有解得故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.法二:因为A(0,5),B(
6、1,2),所以线段AB的中点的坐标为,直线AB的斜率kAB7,因此线段AB的垂直平分线的方程是y,即x7y100.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2xy50.由得圆心的坐标为(3,1),又圆的半径r5,故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.点与圆的位置关系例2(链接教科书第83页例1)已知圆N的标准方程为(x5)2(y6)2a2(a0)(1)若点M(6,9)在圆上,求a的值;(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3),线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点,求a的取值范围解(1)因为点M在圆上,所以(65)2(96)2a2,又a0,可得a.(2)由两点间距离公式可得,|PN|,|QN|3.因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点,即P,Q两点一个在圆N内,另一个在圆N外,又3,所以3a.即a的取值范围是(3,)判断点与圆的位置关系的方法(1)确定圆的方程:化为(xa)2(yb)2r2;(2)将点的坐标代入代数式(xa)2(yb)2,比较代数式的值与r2的大小关系;(3)下结论:若(x0a)2(y0b)2r2,表示点在圆上;若(x0a)2(y0b)2r2,表示点在圆外;若(x0a)2(y0b)2r2,表示点在圆内此外,也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断当dr时,点在圆外;当dr时,点在圆上;当d1,169a21,a2,a或a.答案: