1、2019-2020下学期段考高一数学试卷一选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 化为弧度是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据角度制与弧度制的相互转化,计算即可.【详解】.故选:B.【点睛】本题考查了角度制化为弧度制的应用问题,属于基础题.2. 下列说法错误的是()A. 向量与的长度相等B. 两个相等的向量若起点相同,则终点必相同C. 只有零向量的模等于0D. 零向量没有方向【答案】D【解析】对于,向量与互为相反向量,长度相等,方向相反,所以正确;对于,若两个向量是相等向量,起点相同,终点必相同,正
2、确;对于,零向量的模为0,正确;对于,零向量不是没有方向,而是方向是任意的,所以错误.故选D.3. 设为第三象限角,则点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【详解】解答过程略4. 直线绕它与轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为直线与轴的交点为,且已知直线的斜率为,所以逆时针旋转所得的直线的斜率应是,由直线的点斜式方程可得,即,应选D.点睛:解答本题的关键是搞清所求直线所满足的条件“经过与轴的交点,且与已知直线垂直”,然后运用直线的点斜式方程求出直线的方程为.5. 如图,在扇形AOB中半径OA=4,弦
3、长AB=4,则该扇形的面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意求出扇形的圆心角,利用扇形面积公式计算即可【详解】扇形AOB中,半径OA=4,弦长AB=4,AOB=,该扇形的面积为:S扇形=42=故选B【点睛】本题考查扇形的面积计算问题,是基础题6. 点关于直线的对称点是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设对称点为,则 ,则,故选A.7. 在正方体中,直线与面所成角的正弦为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合题意,构造该直线与平面所成夹角,计算正弦值,即可【详解】连接AC交BD于点O,连接,因为,得到,所以为直线与面所成角,设,
4、则,所以,故选B【点睛】本道题考查了计算直线与平面所成角,考查了直线与平面垂直的判定,难度中等8. 设,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三角函数的单调性可得,即可得解.【详解】因,所以.故选:A.【点睛】本题考查了三角函数单调性的应用,找到合理的中间值是解题关键,属于基础题.9. 要得到函数的图象,只需将函数的图象()A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】先将函数的化为正弦型函数,在将函数的解析式表示为,并结合的符号与绝对值确定平移的方向与长度【详解】由诱导公式可得,因此,只需在将函
5、数的图象向左平移个单位长度,即可得到函数的图象,故选C【点睛】在考查两个三角函数平移的过程中,需注意以下两个问题;两个函数的名称一定要一致;左右平移法则中的“左加右减”指的是在自变量上变化了多少10. 如图,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中,错误的是( )A. ACSBB. BC平面SADC. SA和SC与平面SBD所成的角相等D. 异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角相等【答案】D【解析】【分析】对各个命题进行证明:A由线面垂直的性质定理证明,B有线面平行的判定定理证明,C由直线与平面所成角的定义证明,D由异面直线所成角的定义证明【详解】由SD
6、底面ABCD,平面,得,又正方形中,所以平面,平面,A正确;因为,平面,平面,平面,B正确;由SD底面ABCD,知为直线与平面所成角,易得与全等,因此,C正确;由知异面直线AB与SC所成的角是,异面直线CD与SA所成的角是,是锐角,是直角(简单说明:由SD底面ABCD得,又,得平面,从而)D错误故选:D.【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质,考查线面平行的判定,考查直线与平面所成的角以及异面直线所成的角考查空间想象能力11. 函数是偶函数,则下列说法错误的是( )A. 函数在区间上单调递减B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】
7、根据函数是偶函数求得,然后再对每个选项进行分析排除可得结论【详解】函数是偶函数,,又,对于A,可得函数区间上单调递减,故A正确对于B,由可得直线是对称轴,故B正确对于C,可得函数在区间上先减后增,故C不正确对于D,由可得是对称中心,故D正确故选C点睛:关于三角函数奇偶性的结论与方法函数yAsinx是奇函数,yAcosx是偶函数若函数yAsin(x)是奇函数,则有k(kZ);若该函数为偶函数,则有k (kZ)若函数yAcos(x)是奇函数,则有k (kZ);若该函数为偶函数,则有k(kZ)12. 关于函数有下述四个结论:是偶函数 的最大值为2在有4个零点 在区间单调递减其中所有正确结论的编号是(
8、 )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数的奇偶性可根据定义判断,最值、零点、单调性等可将函数去绝对值进行分析.【详解】解:的定义域为,因为,故偶函数,结论正确,当,当,故当时,根据函数为偶函数,作出大致图象,如图所示故函数的最大值为2,结论正确,根据图象可得,在有3个零点,故结论错误,由图象可以看出,在区间单调递减,结论正确.故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、三角函数的图象与性质,考查学生的推理论证能力和运算求解能力等.二填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置)13. 经过点的直线的倾斜角是_.【答案】【解析】【分析】根据斜率公式求
9、解即可.【详解】经过点的直线的倾斜角是.所以倾斜角为.故答案为:【点睛】本题主要考查了两点间斜率的计算,属于基础题.14. 已知,则_【答案】【解析】【分析】由得的值,再将所求式子利用1的代换,即分母除以,化成关于的表达式,再求值.【详解】由得,所以故答案为:.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,考查运算求解能力,求解时注意1的代换的应用,属于基础题.15. 已知点(x,y)在直线2xy50上运动,则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+50上的点与原点连线长度的平方最小值,由点到直线的距离公式可得【详解】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+50上的
10、点与原点连线长度的平方最小值,即为原点到该直线的距离平方d2,可看成直线2x+y+50上的点与原点连线的长度,由点到直线的距离公式易得d的最小值为,故答案为.【点睛】本题考查点到直线的距离公式,转化是解决问题的关键,属基础题16. 已知圆,圆,MN分别为圆上的动点,点P是x轴上的动点,则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由圆的性质可得对于任意一点P,取点关于x轴的对称点,由轴对称的性质可得,即可得解.【详解】由题意,圆的圆心,半径为,圆圆心,半径为,对于x轴上任意一点P,设点关于x轴的对称点为,则,所以,所以的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了圆的标准方程及性质的应用,考查了运算求解
11、能力与转化化归思想,属于中档题.三解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内作答.)17. 如图,在任意四边形ABCD中,(1)已知EF分别是ADBC的中点求证:.(2)已知,用,表示向量.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)由平面向量的线性运算可得,两式相加即可得证;(2)由平面向量的线性运算逐步运算即可得解.【详解】(1)证明:因为EF分别是ADBC的中点,所以,由题意,两式相加得,即;(2)因为,所以,所以.【点睛】本题考查了平面向量线性运算及用基底表示平面向量的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.18
12、. 已知角 的终边在第二象限,且与单位圆交于点(1)求的值;(2)求的值.【答案】【解析】【分析】(1)先求出,再求出的值.(2)先利用诱导公式化简,再把tan的值代入求解.【详解】(1)由题得因为角 的终边在第二象限,所以所以.(2)=.【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义,考查同角的商数关系和诱导公式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19. 在直角中,是直角,顶点,的坐标分别为,圆是的外接圆(1)求圆的方程;(2)求过点且与圆相切的直线的方程【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)由是直径可得圆心坐标和半径(2)一是考虑斜率不存在的直线是否为切线,斜率存在时设切线方程
13、为,由圆心到切线距离等于半径求得,得切线方程中【详解】解:(1)在直角中,是直角,顶点,的坐标分别为,是直径,则的中点,即圆心,半径,则圆的方程为(2),点在圆外,当切线斜率不存在时,此时切线方程为,到圆心的距离此时满足直线和圆相切,当直线斜率存在时,设为,则切线方程为,即,则圆心到直线的距离,即,平方得,即,则,此时切线方程为,综上求过点且与圆相切的直线的方程为或【点睛】本题考查求圆的切线方程,由圆心到切线距离等于半径判断直线与圆相切20. 已知函数的部分图象如图所示:(I)求的解析式及对称中心坐标;()将的图象向右平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单
14、位,得到函数的图象,求函数在上的单调区间及最值【答案】() ;对称中心的坐标为() ()见解析【解析】【分析】(I)先根据图像得到函数的最大值和最小值,由此列方程组求得的值,根据周期求得的值,根据图像上求得的值,由此求得的解析式,进而求得的对称中心.(II)求得图像变换之后的解析式,通过求出的单调区间求得在区间上的最大值和最小值.【详解】解:(I)由图像可知:,可得:又由于,可得:,所以由图像知,又因为所以,.所以 令(),得:()所以的对称中心的坐标为() (II)由已知的图像变换过程可得: 由的图像知函数在上的单调增区间为,单调减区间 当时,取得最大值2;当时,取得最小值【点睛】本小题主要
15、考查根据三角函数图像求三角函数解析式,考查三角函数对称中心的求法,考查三角函数图像变换,考查三角函数的单调性和最值的求法,属于中档题.21. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M,N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为13;圆弧C2过点A(29,0).(1)求圆弧C2的方程.(2)曲线C上是否存在点P,满足PA=PO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由.【答案】(1) (x-14)2+y2=225(5x29) (2) 不存在,理由见解析【解析】【详解】(1)圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169,令x=5,解得M(5
16、,12),N(5, -12).则线段AM中垂线的方程为y-6=2(x-17),令y=0,得圆弧C2所在圆的圆心为(14,0),又圆弧C2所在圆的半径为r2=29-14=15,所以圆弧C2的方程为(x-14)2+y2=225(5x29).(2)假设存在这样的点P(x,y),则由PA=PO,得x2+y2+2x-29=0,由解得x=-70(舍去).由解得x=0(舍去),综上知,这样的点P不存在.【误区警示】求圆弧C2的方程时经常遗漏x的取值范围,其错误原因是将圆弧习惯认为或误认为圆.22. 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点,(1)求圆的圆心坐标;(2)求线段的中点的轨迹的方程;(3)是否存在实
17、数,使得直线与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由【答案】(1);(2);(3)存在,或【解析】【分析】(1)通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论;(2)设当直线的方程为y=kx,通过联立直线与圆的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论;(3)通过联立直线与圆的方程,利用根的判别式=0及轨迹的端点与点(4,0)决定的直线斜率,即得结论【详解】(1)由得, 圆的圆心坐标为;(2)设,则 点为弦中点即,即, 线段的中点的轨迹的方程为;(3)由(2)知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧(如下图所示,不包括两端点),且,又直线:过定点,当直线与圆相切时,由得,又,结合上图可知当时,直线:与曲线只有一个交点考点:1.轨迹方程;2.直线与圆相交的位置关系;3.圆的方程