1、第3讲基本不等式及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014太原模拟)设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析因为a，bR时，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2ab0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件，故选B.答案B2已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A.B4C.D5解析依题意，得(ab)5()(52)，当且仅当即a，b时取等号，即的最小值是.答案C3若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A.BC2D解析由x0，y0，得4x29
2、y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.答案C4(2015金华十校模拟)已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3B4C5D6解析由题意知：ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44.答案B5小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()AavBvC.vDv解析设甲、乙两地之间的距离为s.ab，v0，va.答案A二、填空题6(2014贵阳适应性监测)已知向量m(2,1)，n(1b，a)(a0，b0)若mn，则ab的最大值为_.解析依题意得2a1b，即2ab1
3、(a0，b0)，因此12ab2，即ab，当且仅当2ab时取等号，因此ab的最大值是.答案7(2014成都诊断)已知定义在(0，)上的函数f(x)3x，若f(ab)9，则f(ab)的最大值为_.解析因为3ab9，所以ab22，得ab1，所以f(ab)3ab3.答案38(2014重庆卷)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是_.解析由log4(3a4b)log2得3a4bab，且a0，b0，1，ab(ab)()7()7274，当且仅当时取等号答案74三、解答题9已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y
4、2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.10(2014泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)(1)大货车运输到第几年年底，该车
5、运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出)解(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则y25x6xx(x1)50(0x10，xN)，即yx220x50(0x10，xN)，由x220x500，解得105x105.而21053，故从第3年开始运输累计收入超过总支出(2)因为利润累计收入销售收入总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y(25x)(x219x25)19，而191929，当且仅当x5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大能力提升题组(建议用时：25分钟)11(
6、2015西安第一中学模拟)设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为()A2BC1D解析由axby3，得xloga3，ylogb3，则.又a1，b1，所以ab()23，所以lg ablg 3，从而1，当且仅当ab时等号成立答案C12设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0B1C.D3解析由已知得zx23xy4y2(*)则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211.答案B13(2014成都诊断)函数f(x)lg，若f(a)f(b)0，则的最小值为_ _.解析依题意得0a2,0b2，且lg0，即ab(2a)(2b
7、)，1，(42)2，当且仅当，即a3，b1时取等号，因此的最小值是2.答案214某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米总造价f(x)400(2x)2482x801621 296x12 9601 296(x)12 9601 296212 96038 880(元)，当且仅当x(x0)，即x10时取等号当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元(2)由限制条件知x16.设g(x)x，g(x)在，16上是增函数，当x时(此时16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 29612 96038 882(元)当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38 882元.