1、课时训练17基本不等式的应用1.已知a0,b0,若不等式恒成立,则m的最大值等于()A.10B.9C.8D.7答案:B解析:a0,b0,2a+b0,要使恒成立,只需m(2a+b)恒成立,而(2a+b)=4+15+4=9,当且仅当a=b时,等号成立,故m9.2.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元,那么水池的最低总造价为()A.1 000元B.2 000元C.2 720元D.4 720元答案:B解析:设水池底面一边长为x m,则另一边为 m,总造价y=4180+80=320+7201 280+720=2 000,当且仅当x=,即x
2、=2时,等号成立.3.设a0,b0,若是3a与3b的等比中项,则的最小值为()A.B.1C.2D.4答案:D解析:是3a与3b的等比中项,3a3b=3,即3a+b=3,有a+b=1.a0,b0,即ab.=4.当且仅当a=b=时,等号成立.4.已知函数y=+9x,(1)若x(0,+),当x=时,函数有最小值为;(2)若x,当x=时,函数有最小值为;(3)若x4,+),当x=时,函数有最小值为.答案:(1)12(2)(3)437解析:(1)x0,y=+9x12.当且仅当=9x,即x=时,取到等号.故当x=时,函数y=+9x有最小值12.(2)y=+9x在上单调递减,在上单调递增,x=时,ymin=
3、.故若x,当x=时,函数y=+9x有最小值为.(3)y=+9x在上单调递增,当x=4时,ymin=37.故若x4,+),当x=4时,函数y=+9x有最小值为37.5.已知关于x的不等式2x+7在x(a,+)上恒成立,则实数a的最小值为.答案:解析:xa,x-a0,2x+=2(x-a)+2a4+2a,当且仅当x=a+1时取“=”.由题意知,4+2a7,故a.6.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是.答案:解析:x2+y2+xy=1,(x+y)2=xy+1.又xy,(x+y)2+1,即(x+y)21.(x+y)2.-x+y.x+y的最大值为.7.如图所示的某水泥渠道,横断面为等
4、腰梯形,为保证额定流量,面积不得小于S.若两侧面的倾角均为60,为使水泥用料最省,则腰长a与底宽b之比是多少?解:梯形面积S=a=a(a+2b).S为定值,a(a+2b)为定值.设周长l=2a+b,3a(a+2b)=l2,又3a(a+2b)=4S(定值),当3a=a+2b时,l=2a+b有最小值,此时a=b.ab=11.8.某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费、汽油费等约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?解:设使用x年时年平均费用为y万元.由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每
5、年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列.因此,汽车使用x年总的维修费为x万元.则y=1+1+2=3.当且仅当,即x=10时,y取最小值.答:汽车使用10年时年平均费用最少.9.已知a,b是正常数,ab,x,y(0,+).(1)求证:,指出等号成立的条件;(2)利用(1)的结论求函数f(x)=的最小值,指出取最小值时x的值.(导学号51830117)解:(1)(x+y)=a2+b2+a2+b2a2+b2+2=(a+b)2,故.当且仅当a2=b2,即时上式取等号.(2)由(1)得f(x)=25.当且仅当,即x=时,上式取等号,即f(x)min=25.10.如图,建立平面直角坐标
6、系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.解:(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x0,k0,故x=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a0,所以炮弹可击中目标存在k0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立关于k的方程a2
7、k2-20ak+a2+64=0有正根判别式=(-20a)2-4a2(a2+64)0a6.所以当a不超过6(千米)时,可击中目标.11.某厂家拟在2016年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(单位:万元)(m0)满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).(1)将2016年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m(单位:万元)的函数;(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润.解:(1)由题意知,当m=0时,x=1,1=3-,即k=2.x=3-.每件产品的销售价格为元,2016年的利润y=x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m=-+29(m0).(2)当m0时,+(m+1)2=8,则y-8+29=21,当且仅当=m+1(m0),即m=3时,ymax=21.即该厂家2016年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.