1、2015届南海中学高三理科数学七校交流卷祝同学们考试顺利本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,请填写好答题卡与答题卷上的个人信息班级、学号以及姓名. 2.做完选择题和填空题后,请及时将答案填涂在答题卡的相应位置上.3.解答题必须规范作答!答案必须写在答题卷指定区域内.4.考生必须保持答题卷的整洁.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则()A B C D2. 下列函数中是偶函数且在上单调递增的是()A B C D3. 下列有关命题的说法正确的是( )A命题“若,则”的否命
2、题为:“若,则”B“” 是“”的必要不充分条件C命题“若,则”的逆否命题为真命题D命题“使得”的否定是:“均有”4在等差数列中,若,则的值为( )ABCD5已知双曲线()的左顶点与抛物线的焦点的距离为,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为,则双曲线的焦距为( )ABCD6. 设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是( )ABCD7已知函数,若,则实数的取值范围是( ) A B C DABCDA1B1C1D1EFPH第8题图8如图,已知正方体棱长为,点在棱上,且.点,分别为棱,的中点,是侧面内一动点,且满足,则当点运动时,的最小值是( )A B C D二、填空题:本大题共7小
3、题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分）(一)必做题(913题)9. 函数的定义域为_.10. 若复数满足,则的虚部为 .11. 已知圆过椭圆的两焦点且关于直线对称,则圆的方程为_.12. 设函数是定义在上的偶函数,则实数_.13. 已知长为的线段的两个端点分别在轴、轴上滑动,是上一点,且,则点的轨迹的方程为_.(二) 选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线(为参数)与曲线(为参数)有一个公共点,则实数的值为 .CDBAO第15题图15.(几何证明选讲选做题)如图所示,圆是的外接圆,点为圆上的三个不同的点,过点
4、的切线交的延长线于点,已知,则的长为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)ABCD第16题图如图,在中,为钝角,.为延长线上一点,且.() 求的大小；() 求的长及的面积.17.(本小题满分12分)年龄(岁)25 30 35 40 45 50 550.080.070.060.050.040.030.020.01某班同学利用国庆节进行社会实践,对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:组数分组低碳族的
5、人数占本组的频率第一组第二组第三组第四组第五组第六组（）补全频率分布直方图并求、的值(可直接写出)；（）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动,其中选取人作为领队,记选取的名领队中年龄在岁的人数为,求的分布列和期望.18.(本小题满分14分) 如图,在四棱柱中,侧面底面,底面为直角梯形,其中,为中点. 第18题图A1B1C1D1DACBO() 求证:平面；() 求直线与平面所成角的正弦值.19.(本小题满分14分) 已知抛物线:()上的点到焦点的距离为.() 求的值；xyABMN第19题图() 如图,已知动线段(在右边)在直线上,且,现过作的切线,取左边的切点,过作的
6、切线,取右边的切点为,当时,求点的横坐标的值.20.(本小题满分14分) 已知数列满足,()；数列满足,(其中为的前项和).() 证明:数列为等差数列；() 求数列的通项公式；() 设,记数列的前项和,求证:.21.(本题满分14分)已知函数,(为常数).() 函数的图象在点处的切线与函数的图象相切,求实数的值；() 若,、使得成立,求最大整数；() 当时,若对于区间内的任意两不等实数,都有成立,求实数的值2015届南海中学高三理科数学七校交流卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案DDCCBCAB二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分必做题9.
7、 10. 11. 12. 13. 选做题14. 15. 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤ABCD第16题图16.【解析】()在中,因为,由正弦定理可得,即,3分所以,又为钝角,所以,所以. 5分() 在中,由余弦定理可知,即,所以. 7分在中,由余弦定理可知,整理得,解得,9分又为钝角,所以,所以.10分年龄(岁)25 30 35 40 45 50 550.080.070.060.050.040.030.020.01所以的面积.12分17.【解析】（）第二组的频率为,所以高为.补全频率分布直方图如如图所示:2分第一组的人数为,频率为,所以,由题可知,
8、第二组的频率为,所以第二组的人数为,所以.第四组的频率为,所以第四组的人数为,所以, 综上,. 5分（）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为,所以采用分层抽样法抽取人,岁中有人,岁中有人.6分的所有可能取值为,且7分, 所以的分布列为10分所以的数学期望(得到不扣分!)12分18.【解析】()证明:如图,连接,则四边形为正方形,所以,且,故四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面.5分()因为,为的中点,所以,侧面,又侧面底面,交线为,故底面.6分以为原点建立空间直角坐标系如图所示,则,7分A1B1C1D1xACBOyzD设平面的法向量为,则,即,解得,令,得,10分
9、 设直线与平面所成角为,则 13分 所以直线与平面所成角的正弦值为.14分19.【解析】()抛物线,准线方程为,2分因为点到焦点的距离为,所以,解得,所以抛物线的方程为 5分()设,因为,所以,所以,所以切线的方程为,即, 6分同理可得切线的方程为, 7分由于动线段(在右边)在直线上,且,故可设,将代入切线的方程得,即,所以,9分同理可得, 10分因为,当时,得所以, 12分所以,即解得或(舍去),所以.14分20.【解析】() 当时,所以, 1分 所以,即, 3分所以数列是以为首项,为公差的等差数列. 4分()当时,即.当时,相减得,整理得,5分当时,化简可得,又,故对任意,均有,6分所以,上述个式子相乘得,所以,当时,也满足上式.所以数列的通项公式为.9分() 由()知,所以,10分所以 12分所以.14分21.【解析】() ,故在点处的切线方程为.2分又直线与函数的图象相切,由消去得,则,解得或.4分() 当时,(),5分当时,所以在上单调递减,所以,7分则,故故满足条件的最大整数为.9分(3) 不妨设,因为函数在区间上是增函数,所以,又函数图象的对称轴为且,所以函数在区间上是减函数,所以,10分所以等价于,即,11分等价于在区间上是增函数,等价于在区间上恒成立,等价于在区间上恒成立,又在上单调递增,所以的最小值为(当时取得),所以,又,所以.14分