1、8 最小二乘估计 在上节课的讨论中，我们知道，人体脂肪含量和年龄之间近似存在着线性关系，这种线性关系可以有多种方法来进行刻画.但是这些方法都缺少数学思想依据.问题1.用什么样的线性关系刻画会更好一些？想法：保证这条直线与所有点都接近（也就是距离最小）.最小二乘法就是基于这种想法.本节课我们来进行详细学习！1.了解最小二乘法的思想.2.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.(重点)3.会用线性回归方程对总体进行估计.(难点）思考1.用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效？设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）方法一:点到直线的距离公式 方法二:12 baybxdii2
2、iibxayyii y,xiibxa,xbxayxA 0 显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者之间的接近程度.思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直线y=a+bx的接近程度：255244233222211bxaybxaybxaybxaybxay提示：若有n个样本点：（x1，y1）,（xn，yn），可以用下面的表达式来刻画这些点与直线ya+bx的接近程度:2211nny(abx)y(abx)使上式达到最小值的直线y=a+
3、bx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.先来讨论3个样本点的情况 2211nny(abx)y(abx)思考3：怎样使 达到最小值？利用配方法可得22221122333-2-)(-)(-)(-)aa y bxy bxybxybx（同样使用配方法可以得到，当 从而得到直线y=+bx的系数，b，且称直线y=+bx为这3个样本点的线性回归方程.用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：niii 1n22ii 1x ynx yxnx牢记公式特别提醒：在回归直线方程中，b是回归直线方程的斜率，a是截距；b的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代表x每增加一个单位，y的平均增加单位数.
4、一般地说，当回归系数b0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时，y就增加b个单位；当b0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时，y就减少b个单位.思考4:如果样本点只有两个，用最小二乘法得到的直线与用两点式求出的直线一致吗？提示:是一致的.与用两点式相同.例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的.数据如下表:气温（xi）26 18 13 10 4-1 杯数（yi）杯 20 24 34 38 50 64(1)试用最小二乘法求出线性回归方程.(2)如果某天的气温是3，请预测这天可能会卖出
5、热茶多少杯.解：（1）由散点图可以看出，两个变量 是线性相关的.648.1-557.57557.57648.1612866191031153353353353115335xyabyx于是，线性回归方程为所以由表格可得：，35115xy=33351151 910633b1.64835351 286633a57.557由表格得：，所以（2）由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方程知，当某天的气温是3时，卖出热茶的杯数估计为：57.557-1.648(-3)63(杯）.1.利用最小二乘法估计时，首先要作出数据的散点图，利用散点图观察数据是否具有线性关系.2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘法公式求
6、出方程.3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合.【说明】例2 下面是两个变量的一组数据：x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 1 4 9 16 25 36 49 64 请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程.解5.25,5.4yx根据上表数据，可以计算出：其他数据如下表i 1 1 1 1 1 2 2 4 4 8 3 3 9 9 27 4 4 16 16 64 5 5 25 25 125 6 6 36 36 216 7 7 49 49 343 8 8 64 64 512 合计 36 204 204 1 296 ii yxiy2ixix，
7、思考：哪一个对呢？y=-15+9x.所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图.如果散点图呈现一定的规律性,我们再根据这个规律性进行拟合.如果散点图呈现出线性关系,我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程;如果散点图呈现出其他的曲线关系,我们就要利用其他的工具进行拟合.x0 1 2 3 y1 3 5 7 D 1.已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点()A.（2，2）B.（1.5，0）C.（1，2）D.（1.5，4）2.(2014湖北高考)根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5-0.5 0.5-2.0-3.0 得到的回归方程为
8、y=bx+a,则()A.a0,b0,b0 C.a0,b0 D.a0 A 3.（2014重庆高考）已知变量 x 与 y 正相关,且 由观测数据算得样本平均数33 5,.xy,则由 该观测数据测算的线性回归方程可能是()A.0 42 3.yx B.22 4.yx C.29 5.yx D.0 34 4.yx A 4.某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：（1）画出销售额和利润额的散点图.（2）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的线性回归方程.商店名称 A B C D E 销售额（x）/千万元 3 5 6 7 9 利润额（y）/百万元 2 3 3 4 5 i xi yi xi2 xiyi 1 3 2 9 6 2 5 3 25 15 3 6 3 36 18 4 7 4 49 28 5 9 5 81 45 合计 30 17 200 112（2）数据如下表：可以求得b=0.5,a=0.4 线性回归方程为：/千万元xy解：（1）0/百万元（1）散点图如图所示：2.线性回归方程的系数：1.最小二乘法的思想.一切澎湃于心，让我们真正能够在心里有所酝酿的东西，都值得我们去努力.