1、第一节直线与直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：(2)范围：直线的倾斜角的取值范围是：0，)2直线的斜率条件公式直线的倾斜角，且90ktan_直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1x2k3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1k2k1与k2都不存在垂直k1k21k1与k2一个为零、另一个不存在4.直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)yy1k(xx1)不含直线xx1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距bykxb不含垂直于x轴的直线续表名称已知条件方程适用范围两点式两点(x1，
2、y1)，(x2，y2)(x1x2，y1y2)不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b1(a0，b0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用5.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式 1斜率与倾斜角的两个关注点：(1)倾斜角的取值范围是0，)，斜率与倾斜角的函数关系为ktan ，图象为：(2)当倾斜角为90 时，直线垂直于x轴，斜率不存在2直线A1xB1yC10与A2xB2yC20
3、垂直的充要条件为A1A2B1B20.1(基础知识：根据两点求斜率)过点M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1 B4C1或3 D1或4答案：A2(基础知识：直线的倾斜角与斜率的关系)直线xy10的倾斜角是()A BC D答案：D3(基本方法：直线的点斜式方程)已知直线l经过点P(2，5)，且斜率为，则直线l的方程为_答案：3x4y1404(基本方法：直线的截距概念)过点(5，0)，且在两轴坐标上的截距之差为2的直线方程为_答案：3x5y150或7x5y3505(基本能力：直线斜率的取值范围)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段总有公共点，则
4、直线l的斜率的取值范围是_答案：(， 1，)题型一直线的倾斜角与斜率1设直线l的方程为xy cos 30(R)，则直线l的倾斜角的取值范围是()A0，) BC D解析：当cos 0时，方程变为x30，其倾斜角为；当cos 0时，由直线l的方程，可得斜率k.因为cos 1，1且cos 0，所以k(，11，)，即tan (，11，)，又0，)，所以，综上可知，直线l的倾斜角的取值范围是.答案：C2直线2x cos y30的倾斜角的取值范围是()A BC D解析：直线2x cos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1， .设直线的倾斜角为，则有tan 1， .又0，)，所
5、以，即直线倾斜角的取值范围是.答案：B3(2021山西太原模拟)已知点A(2，3)，B(3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为_解析：如图所示，kPA4，kPB.要使直线l与线段AB有交点，则有k或k4.答案：(，44直线l：ax(a1)y20的倾斜角大于45，求a的取值范围解析：当a1时，直线l的倾斜角为90，符合要求；当a1时，直线l的斜率为.则有1或0，解得1a或a0.综上可知，实数a的取值范围是(0，).方法总结 1倾斜角与斜率k的关系：(1)当时，k0，).(2)当时，斜率k不存在(3)当时，k(，0).2斜率的两种求法：(1)定义法：若已知
6、直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率3倾斜角范围与直线斜率范围互求时，要充分利用ytan 的单调性 题型二求直线方程 典例剖析典例(1)已知点M是直线l：2xy40与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45，得到的直线方程是()Axy30 Bx3y20C3xy60 D3xy60解析：设直线l的倾斜角为，则tan k2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45，所得直线的斜率ktan (45)3，又点M(2，0)，所以y3(x2)，即3xy60.答案：D(2)直线过点(4，0)
7、，倾斜角的正弦值为的直线方程为_解析：由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为，则sin (0，)，从而cos ，则ktan .故所求直线的方程为y(x4)或y(x4)，即x3y40或x3y40.答案：x3y40或x3y40(3)过点A(1，3)，斜率是直线y3x的斜率的倍的直线方程为_解析：设所求直线的斜率为k，依题意k3.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.答案：3x4y1501求直线方程的方法方法解读题型直接法直接求出直线方程所需要的标量适合于直线标量易求的题目待定系数法设出直线方程形式，待定其中的标量适合于条件较多而隐含的题目方法总结 提醒解题时需要
8、考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况、截距等于零的情况2设直线方程的常用技巧(1)已知直线纵截距为b，常设其方程为ykxb(需保证斜率存在)；(2)已知直线横截距为x0，常设其方程为xmyx0(它不适用于斜率为0的直线)；(3)已知直线过点(x0，y0)，当斜率k存在时，常设其方程为yy0k(xx0)，当斜率k不存在时，则其方程为xx0；(4)与直线l：AxByC0平行的直线可表示为AxByC10(C1C)；(5)与直线l：AxByC0垂直的直线可表示为BxAyC10；(6)过直线l1：A1xB1yC10和直线l2：A2xB2yC20交点的直线系方程可表示为A1xB1yC1(A2xB2yC2
9、)0(不含l2).对点训练求适合下列条件的直线方程：(1)求过点(2，1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程；(2)求经过点A(5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程解析：(1)法一：由题意可设直线方程为1.则解得ab3，或a4，b2.故所求直线方程为xy30或x2y40.法二：设直线方程为ykxb，则在x轴上的截距为，所以b6，又直线过点(2，1)，则2kb1.由得或故所求直线方程为xy30或x2y40.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5，2)代入所设方程，解得a，此时，直线方程为x2y10.当直线过原点时，斜率k，直线方程为yx，即2x5
10、y0，综上可知，所求直线方程为x2y10或2x5y0.题型三两条直线的位置关系 典例剖析类型 1利用平行、垂直求参数 例1“a0”是“直线l1：(a1)xa2y30与直线l2：2xay2a10平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当a0时，l1：x30，l2：2x10，故l1l2.当l1l2时，若l1与l2斜率不存在，则a0；若l1与l2斜率都存在，则a0，有且，此时a无解，故当l1l2时，有a0.答案：C类型 2利用平行或垂直关系求直线方程例2(1)已知点P1(2，3)，P2(4，5)和A(1，2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为
11、_解析：当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，由直线P1P2的斜率k，得所求直线的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线过线段P1P2的中点时，因为线段P1P2的中点坐标为(1，4)，所以直线方程为x1.综上所述，所求直线方程为x3y50或x1.答案：x3y50或x1(2)与直线3x4y10平行且过点(1，2)的直线l的方程为_解析：设所求直线为3x4yc0，直线过点(1，2).342c0，c11，直线l的方程为3x4y110.答案：3x4y110方法总结两直线位置关系的判断方法方法平行垂直适合题型化成斜截式k1k2，且b1b2k1k21斜率存在续表方法平行垂直适合题型一般式设直线l1
12、：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20无限制直接法k1与k2都不存在，且b1b2k1与k2中一个不存在，另一个为零k不存在题组突破1已知直线l1：(a2)x(1a)y30与直线l2：(a1)x(2a3)y20，则“a1”是“l1l2”的()A.充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：l1l2的充要条件是(a2)(a1)(1a)(2a3)0，即a210，故有(a1)(a1)0，解得a1.显然“a1”是“a1”的充分不必要条件
13、答案：A2已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10，试确定m，n的值，使(1)l1l2；(2)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.解析：(1)l1l2，解得或即当m4，n2或m4，n2时，l1l2.(2)当且仅当2m8m0，即m0时，l1l2.又1，n8.即当m0，n8时，l1l2，且l1在y轴上的截距为1.1(平行直线系方程)已知直线l1与直线l2：x3y60平行，l1能和x轴，y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程解析：设直线l1的方程为x3yc0(c6)，则令y0，得xc；令x0，得y，依题意有|c|8，解得c4.所以直线l1的方程是x3y40.2(垂直直线系方程)求经过点A(2，1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程解析：因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yc0，又直线过点A(2，1)，所以有221c0，解得c0，即所求直线方程为x2y0.若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A BC D解析：因为l1l2，所以，所以解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2之间的距离d.答案：B