1、课时作业57定点、定值、探究性问题1(2020昆明市教学检测)已知点M(，0)，P是圆N：(x)2y216上的一个动点，N为圆心，线段PM的垂直平分线与直线PN的交点为Q.(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：ykxm与C交于A，B两点(l不经过D点)，且ADBD，证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标解：(1)圆N的圆心N(，0)，半径r4，由垂直平分线的性质知|QP|QM|，故|QM|QN|QP|QN|r4|MN|，由椭圆的定义知，点Q的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，设C：1(ab0)，焦距为2c，则2a4，a2，c，b1，所以C的方程为y21.(2)由已
2、知得D(0,1)，由得(14k2)x28kmx4m240，当0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2m，y1y2(kx1m)(kx2m)，由ADBD得x1x2(y11)(y21)0，即0，所以5m22m30，解得m1或m.当m1时，直线l经过点D，不符合题意，舍去当m时，显然有0，直线l经过定点(0，)2(2020长沙市统考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2F1F2，且|AF2|.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆
3、C的一条切线l：ykxm与l1，l2分别交于M，N两点，求证：MF1N为定值解：(1)由AF2F1F2，|AF2|，得.又e，a2b2c2，所以a29，b28，故椭圆C的标准方程为1.(2)由题意可知，l1的方程为x3，l2的方程为x3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(3，3km)，N(3,3km)，所以(2，3km)，(4,3km)，所以8m29k2.联立得得(9k28)x218kmx9m2720.因为直线l与椭圆C相切，所以(18km)24(9k28)(9m272)0，化简得m29k28.所以8m29k20，所以，故MF1N为定值.(注：可以先通过k0计算出此时MF1N，再验证一
4、般性结论)3(2020洛阳市联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求证：点(m，k)在定圆上解：(1)椭圆C的焦距为2c，由已知e，2b2，a2b2c2，得b1，a2，椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得m24k21.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOMkON，则，即4
5、y1y25x1x2，4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)4km4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得m2k2.由得0m2，b0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2的面积为2.点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.(1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程(2)对于(1)中确定的椭圆E，若给定圆F1：(x1)2y23，则圆P和圆F1的公共弦MN的长是否为定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由解：(1)依题意四边形F1B1F2B2的面积
6、为2bc，所以2bc2.因为|A1A2|2a222，当且仅当bc1时取“”，此时a，所以长轴A1A2的长的最小值为2，此时椭圆E的方程为y21.(2)设点P(x0，y0)，则y1y1.圆P的方程为(xx0)2(yy0)2xy，即x2y22x0x2y0y0，圆F1的方程为(x1)2y23，即x2y22x20，得公共弦MN所在直线的方程为(x01)xy0y10，所以点F1到公共弦MN的距离d，则|MN|22，所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2.5(2020江西新余月考)已知F为椭圆C：1(ab0)的右焦点，点P(2，)在椭圆C上，且PFx轴(1)求椭圆C的方程(2)如图，过点F的直线l分别交
7、椭圆C于A，B两点，交直线x4于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否构成等差数列？请说明理由解：(1)因为点P(2，)在椭圆C上，且PFx轴，所以c2.设椭圆C的左焦点为E，则|EF|2c4，|PF|.在RtEFP中，|PE|2|PF|2|EF|218，所以|PE|3.所以2a|PE|PF|4，a2.b2a2c24，故椭圆C的方程为1.(2)由题意可设直线AB的方程为yk(x2)，令x4得y2k，点M的坐标为(4,2k)联立得(2k21)x28k2x8(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，从而k1，k2
8、，k3k.因为直线AB的方程为yk(x2)，所以y1k(x12)，y2k(x22)，所以k1k22k.将代入得k1k22k2k.又k3k，所以k1k22k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列6已知椭圆C：1(ab0)的焦距为2，如下图，以椭圆C的右顶点A为圆心的圆与直线yx相交于P，Q两点，且0，3.(1)求椭圆C的标准方程和圆A的方程(2)不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，已知直线OM，l，ON的斜率k1，k，k2成等比数列，记以线段OM，线段ON为直径的圆的面积分别为S1，S2，S1S2的值是否为定值？若是，求出此值；若不是，说明理由解：(1)设T为PQ的中点，连接AT，则AT
9、PQ，因为0，即APAQ，所以|AT|PQ|，又3，所以OT|PQ|，所以，所以.由已知得c，所以a24，b21，所以椭圆C的方程为y21.因为|AT|2|OT|2|OA|2，所以|AT|24|AT|24，得|AT|，所以r|AP|AT|，所以圆A的方程为(x2)2y2.(2)设直线l的方程为ykxm(m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(14k2)x28kmx4(m21)0，所以x1x2，x1x2，由题设知k2k1k2k2，所以km(x1x2)m20，得m20，又m0，所以k2，则S1S2(|OM|2|ON|2)(xyxy)(xx)(x1x2)22x1x24m24(m21)，故S1S2为定值，该定值为.