1、第51讲 圆的方程【学习目标】1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；2.掌握圆的参数方程及其简单应用；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.【基础检测】1.圆 C：x2y22x2y20 的圆心坐标为()A.(1，1)B.(1，1)C.(1，1)D.(1，1)【解析】圆的方程可以改写为x1 2y1 24，显然圆心坐标为1，1.D2.若圆 C 与圆(x2)2(y1)21 关于原点对称，则圆 C 的方程是()A.(x2)2(y1)21 B.(x2)2(y1)21C.(x1)2(y2)21 D.(x1)2(y2)21【解析】法一：因为点(x，y)关于原点的对称点为(x，y)，所以圆
2、 C 为(x2)2(y1)21，即(x2)2(y1)21.法二：已知圆的圆心是(2，1)，半径是 1，所以圆 C 的圆心是(2，1)，半径是 1.所以圆 C的方程是(x2)2(y1)21.A3.已知坐标原点 O 在圆 x2y2xym0 外，则 m 的取值范围是()A.0m12B.m0【解析】由题可知，圆的一般方程为 x2y2xym0，将其化成标准方程为x122y12212m，圆心为12，12.若坐标原点 O 在圆 x2y2xym0 外，则坐标原点到圆心的距离应大于圆的半径，即 22 12m，解得 0m0)上，且与直线 2xy10 相切的面积最小的圆的方程为.(x1)2(y2)25【解析】由题意
3、可知，半径 r|2x2x1|5，x0，r|2x2x1|52x2x1522x2x15 5，当且仅当 2x2x，即 x1 时，等号成立，此时 y2x2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)25.【知识要点】1圆的定义：_与定点距离等于_的点的轨迹是圆，其中定点是圆心，定长为圆的半径2圆的方程(1)圆的标准方程圆心是(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程是_当圆心在(0，0)时，标准方程为_平面内定长(xa)2(yb)2r2x2y2r2(2)圆的一般方程 x2y2DxEyF0(_)，圆心的坐标为_，半径 r_圆的一般方程有如下特点：x2，y2 系数都为 1；没有 xy 项；D2E24F0.都是方程
4、表示圆的必要条件，当 D2E24F0 时方程只表示一个点，当 D2E24F0D2，E2D2E24F2AC0B0D2E24AF0(3)圆的参数方程圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程为_(为参数)，圆心为(x0，y0)，半径为 r的圆的参数方程为_(为参数)xrcos yrsin xx0rcos yy0rsin 3两个重要结论端点圆方程：一个圆直径的端点是 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则圆的方程为_圆的弦长公式：_(r 表示圆的半径，d表示弦心距)4点 P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系(1)若(x0a)2(y0b)2r2，则点 P 在圆外；(2)若(x0a
5、)2(y0b)2r2，则点 P 在圆上；(3)若(x0a)2(y0b)2 5，圆 C 与直线 2xy40 不相交.t2 不合题意，舍去；当 t2 时，圆心为(2，1)，OC 5，此时圆心 C 到直线 2xy40 的距离 d 150 时，k 的值最大.要使直线与圆相切，应使圆心 O(2，0)到直线 ykx 的距离 d|2k|1k21，解得 k 33，yx的最大值为 33，最小值为 33.(2)解法一：设 yxb，即 yxb，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值，此时|2b|2 1，b2 2，故 yx 的最大值为2 2，最小值为2 2.解法二：设 x2cos，ysin，则 y
6、xsin cos 2 2sin4 2，所以 yx 的最大值为2 2，最小值为22.(3)解法一：x2(y1)2 表示圆上的点到点(0，1)的距离的平方，由平面几何知识可知，它在点(0，1)与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到点(0，1)的距离为 2212 5，故 x2(y1)2 的最大值为(1 5)262 5，最小值为(51)262 5.解法二：设 x2cos，ysin，则 x2(y1)2(2cos)2(sin 1)24cos 2sin 62 5cos()6，故 x2(y1)2 的最大值为 62 5，最小值为 62 5.【点评】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数
7、形结合求解，一般地：形如 Uybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如(xa)2(yb)2 形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题，或转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；形如 taxby 形式的最值问题可转化为动直线截距的最佳问题.四、与圆有关的综合问题例 4 在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标分别为：0，0，2，2，C4，0.(1)若过点 C 作一条直线 l，使点 和点 到直线l 的距离相等，求直线 l 的方程；(2)求C 的外接圆的方程.【解析】(1)依题意可知，直线斜率存在.故设直线的斜率为 k，由于直线过点 C(4，0)，故直线方程可表示为 yk(x
8、4)，即 kxy4k0.因为点 A(0，0)，B(2，2)到直线的距离相等，所以|4k|k21|2k24k|k21，解得 k1 或 k13，故所求直线方程为 yx4 或 y13x43.(2)设OBC 的外接圆的方程为 x2y2DxEyF0，代入 O，B，C 的坐标，得F0442D2EF0164DF0 解得 D4，E0，F0 故所求ABC 的外接圆的方程为 x2y24x0.1.在求圆方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式，圆的标准方程，突出了圆心坐标和半径，便于作图使用，圆的一般方程是二元一次方程的形式，便于代数运算，而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的
9、互化.如果问题中给出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.2.在二元二次方程中 x2 和 y2 的系数相等并且没有xy 项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.1.(2015 全国新课标)已知三点 A(1，0)，B(0，3)，C(2，3)，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213 C.2 53D.43B【解 析】在 坐 标 系 中 画 出ABC(如图)，利用两点间的距离公式可
10、得|AB|AC|BC|2(也可以借助图形直接观察得出)，所以ABC 为等边三角形.设 BC 的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心.所以|AE|23|AD|2 33，从而|OE|OA|2|AE|2143 213，故选 B.【点评】先根据已知条件分析ABC 的形状，然后确定外心的位置，最后数形结合计算外心到原点的距离.2.(2015 湖北)如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1，0)，与 y 轴正半轴交于两点 A，B(B 在 A 的上方)，且|AB|2.(1)圆 C 的标准方程为；(2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为_.(x1)2(y)22 21【解析】(1)结合图形，
11、确定圆 C 的圆心坐标和半径，从而写出圆的标准方程.取 AB 的中点 D，连接 CD，则 CDAB.由题意|AD|CD|1，故|AC|CD|2|AD|2 2，即圆 C 的半径为 2.又因为圆 C 与 x 轴相切于点 T(1，0)，所以圆心 C的坐标为(1，2)，故圆 C 的标准方程为(x1)2(y2)22.(2)如图，先求出点 B 的坐标，进而求出圆 C 在点 B 处的切线方程，再求切线在 x 轴上的截距.令(x1)2(y 2)22 中的 x0，解得 y 21，故 B(0，21).直线 BC 的斜率为 21 2011，故切线的斜率为 1，切线方程为 yx 21.令 y0，解得 x 21，故所求
12、截距为 21.1.圆 x2y24x6y30 的圆心和半径分别为()A.(4，6)，16 B.(2，3)，4C.(2，3)，4 D.(2，3)，6C【解析】圆方程可化为(x2)2(y3)216，可知圆心(2，3)，半径 r4，故选 C.2.若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是()A.1a1 B.0a1 或 a1 D.a1【解析】点(1，1)在圆的内部，(1a)2(1a)24，1a1.A3.若圆 x2y22ax3by0 的圆心位于第三象限，那么直线 xayb0 一定不经过()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】圆 x2y22ax3by0
13、的圆心为a，32b，则 a0.直线 y1axba，k1a0，ba0，直线不经过第四象限.D4.点 M，N 在圆 x2y2kx2y40 上，且点M，N 关于直线 xy10 对称，则该圆的圆心坐标为()A.(2，1)B.(1，2)C.(1，2)D.(2，1)【解析】由题意知，直线 xy10 是弦 MN的垂直平分线，故圆心在直线 xy10 上，k220，得 k4，r5k24 3，圆心坐标为(2，1).D5.经过点 A(5，2)，B(3，2)，且圆心在直线 2xy30 上的圆的方程为.【解析】(1)解法一：由题知 kAB2，A，B 的中点为(4，0)，设圆心为 C(a，b).圆过 A(5，2)，B(3
14、，2)两点，圆心 C 一定在线段 AB 的垂直平分线上.则 ba412，2ab30，解得a2，b1.C(2，1).r|CA|（52）2（21）2 10.所求圆的方程为(x2)2(y1)210.x2y24x2y50 解法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则2ab30，（5a）2（2b）2r2，（3a）2（2b）2r2，解得a2，b1，r 10，故圆的方程为(x2)2(y1)210.解法三：设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，即2545D2EF0，943D2EF0，2D2 E230，解得 D4，E2，F5.所求圆的方程为 x2y24x2y50.6.已知对于圆 x2(y1)
15、21 上任意一点 P(x，y)，不等式 xym0 恒成立，则实数 m 的取值范围是.【解析】圆 x2(y1)21 的参数方程可写为xcos，y1sin.xym0 恒成立，cos 1 sin m0恒 成 立，即 m(cos 1sin)恒成立.sin 1cos 2sin4 112，m 21.m217.已知 x，y 满足 x2y21，则y2x1的最小值为_.【解析】y2x1表示圆上的点 P(x，y)与点 Q(1，2)连线的斜率，y2x1的最小值是直线 PQ 与圆相切时的斜率.设直线 PQ 的方程为 y2k(x1)，即 kxy2k0，由|2k|k211，得 k34，结合图形可知y2x134，所求最小值
16、为34.348.已知圆 C：(x1)2(y2)225，直线 l：(2m1)x(m1)y7m40(mR).(1)证明不论 m 取何值，直线 l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆截得弦长最小时的 l 的方程.【解析】(1)证明：l 的方程为(xy4)m(2xy7)0，解方程组2xy70，xy40得x3，y1，即 l 恒过定点 A(3，1)，圆心 C(1，2)，|AC|55(半径)，点 A 在圆 C 内，从而直线 l 与圆 C 恒相交于两点.(2)当弦长取得最小值时，lAC，又 kAC12，l 的方程为 2xy50.9.已知动点 M 到点(8，0)的距离等于 M 到点(2，0)的距离的 2 倍.(1
17、)求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2)若直线 ykx5 与轨迹 C 没有交点，求 k 的取值范围；(3)已知圆 x2y28x8y160 与轨迹 C 相交于 A，B 两点，求|AB|.【解析】(1)设 M(x，y)，则（x8）2y22（x2）2y2，整理得 x2y216，即动点 M 的轨迹 C 的方程为x2y216.(2)由x2y216ykx5，消去y 并化简得(1k2)x210kx90，因为直线 ykx5 与轨迹 C 没有交点，所以 100k236(1k2)0，即 16k290，解得34k34.(3)圆 x2y28x8y160 的圆心坐标为 C1(4，4)，半径 r4.由x2y216x2y28x8y160得 xy40 这就是AB 所在的直线方程，又 圆 心 C1(4，4)到 直 线 AB 的 距 离 d|14144|12122 2，所以|AB|2 r2d22 1684 2.或：AB 所在的直线方程 xy40 与 x2y216 的交点坐标为 A(4，0)，B(0，4)，所以|AB|42424 2.