1、第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式 1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2xcos2x1(2)商数关系：tan_x.2三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_ 1“一个口诀”诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”与“偶”指的是k中的整数k是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在k中，将看成锐角时k所在的象限.2两个注意(1)在利用同角三角
2、函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论3两个推广tan ，tan .1(基础知识：同角关系)已知sin ，则tan ()A2 B2C D答案：D2(基本方法：诱导公式)sin 210cos 120的值为()A BC D答案：A3(基本能力：运算)已知tan 2，则的值为_答案：34(基本应用：诱导公式)化简sin ()cos (2) 的结果为_答案：sin25(基本能力：诱导公式)已知，3sin22cos ，则sin _答案：题型一同角三角函数关系的应用 典例剖析类型 1公式的直接应用例1若sin ，且为第四象限
3、角，则tan ()A BC D解析：cos ，tan .答案：D类型 2关于sin 、cos 的齐次式问题例2已知tan ，求：(1)；(2)；(3)sin2sincos 2.解析：(1).tan，.(2).(3)原式.类型3“sin cos ”“sin cos ”及“1”之间的转化例3(1)已知sin cos ，则sin cos 的值为()A BC D解析：因为(sin cos )2sin2cos22sincos 12sin cos ，所以2sin cos ，则(sin cos )2sin2cos22sincos 12sin cos .又因为，所以sin cos ，即sin cos 0，所以
4、sin cos .答案：B(2)若1cos 3sin ，则tan _解析：3sin cos 1，9sin26sincos cos21，4sin23sincos 0，sin (4sin 3cos )0，sin 0，此时cos 1，tan 0，或者4sin 3cos 0，tan .答案：0或方法总结同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan 化成正弦、余弦，或者利用公式tan 化成正切解析式中含有sin ，cos 与tan “1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)tan(sin cos )22sin cos 解析式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin
5、 cos )212sin cos 的关系进行变形、转化解析式中含有sin cos 或sin cos 次幂升降(1)对于含有根号的，即形如(其中A是可以转化为形如a2的三角函数式)的式子，常把根号下的式子化为完全平方式，根据二次根式的性质化简或求值(2)对于含有高次的三角函数式，一般借助于因式分解、约分、构造sin2cos21来降低次数出现根号或高次幂的结构形式题组突破1(2021平顶山联考)已知5，则cos2sin2()A BC3 D3解析：由5知tan 2，cos2sin2.答案：A2已知是三角形的内角，且tan，则sin cos 的值为_解析： (0，)，tan ，.cos 3sin ，9
6、sin2sin21，sin，sin cos 2sin .答案：3(母题变式)在例3(1)中，如何求tan .解析：由得sin ，cos ，tan .题型二诱导公式的应用 典例剖析典例(1)已知是第四象限角，且sin ，则tan _解析：因为是第四象限角，且sin ，所以为第一象限角，所以cos ，所以tan .答案：(2)设f()(12sin0).化简f()；若，求f()的值解析：f().当时，f()f.方法总结1.诱导公式的作用是异角化同角2应用诱导公式时，注意(1)明确函数名是变，还是不变；(2)明确函数值符号是正还是负；(3)明确是否直接用公式；(4)明确各公式的应用顺序3含2整数倍的诱
7、导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中，可直接将2的整数倍去掉后再进行运算对点训练1已知tan ，则tan _解析：tan tan tan tan .答案：2(母题变式)若本例(1)条件不变，求cos cos 的值解析：cos cos cos ，cos cos sin ，cos cos .题型三同角三角函数关系的诱导公式的综合应用 典例剖析类型 1以化为“同名”函数为主线例1已知，sin cos ，求tan 的值解析：sin cos cos (sin )，tan 或tan 2.又，tan .类型 2以化为“同角”函数为主线例2已知cos ，则cos ()A B
8、C D解析：由cos cos sin ，所以sin ，所以cos cos sin .答案：C类型 3以“变式”为主线例3(1)已知函数f(x)a sin (x)b cos (x)，且f(4)3，则f(2 021)的值为()A1 B1C3 D3解析：因为f(4)3，所以a sin b cos 3，故f(2 021)a sin (2 021)b cos (2 021)a sin b cos (a sin b cos )3.答案：D(2)已知sin 和cos 是方程4x22xm0的两根，则cos3cos3_解析：由根与系数的关系，得sincos ，sin cos ，(sin cos )212sin
9、cos ，1，解得m1，sin cos ，sin 0，cos 0，则为第三象限角原式sin3cos3(sincos )(sin2sincos cos2)(sincos )(1sin cos )(sin cos ).而(sin cos )212sin cos 1，当sin cos ， 即2k2k(kZ)时，sin cos ，此时，sin3cos3；当sincos ，即2k2k(kZ)时，sin cos ，此时，sin3cos3.综上，sin3cos3.答案：方法总结1先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系求解，用诱导公式时务必先使其符合公式形式：变其角
10、，合其形，求其值2诱导公式与同角关系式结合起来，进行“三变”，变角、变名、变式变名：主要是沟通已知与所求函数名之间的联系，进行转化，正弦余弦，切弦变角：主要沟通已知角与所求角之间的联系，用已知角表示所求角题组突破1已知tan2，则cos ()cos 的值为_解析：依题意得cos ()cos cos sin .答案：2sin21sin22sin289_解析：因为sin1cos 89，所以sin21sin289cos289sin2891，同理sin22sin2881，sin244sin2461，而sin245，故原式44.答案：3已知为锐角，且2tan()3cos 50，tan ()6sin ()
11、10，则sin _解析：由已知得2tan 3sin 50，tan 6sin 10，tan 3，即3.又sin2cos21，为锐角，sin.答案： 1(“1”的代换技术)(2018高考全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin ()_解析：sin cos 1，cos sin 0，22得12(sin cos cos sin )11.sin cos cos sin ，sin ().答案：2(角的“变换术”)(2018高考全国卷)已知tan ，则tan _解析：法一：因为tan ，所以，即，解得tan .法二：因为tan ，所以tan tan .答案：已知cos k，kR，则sin ()A B. C D. 解析：由cos k，kR，可知k0，设角终边上一点P(k，y)(y0)，OP1，所以1，得y ，由三角函数定义可知sin .答案：B