1、课时作业53直线与椭圆的位置关系一、选择题1直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是(B)A(1，)B(1,3)(3，)C(3，)D(0,3)(3，)解析：由得(m3)x24mxm0.由0且m3及m0得m1且m3.2设直线ykx与椭圆1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(A)AB CD2解析：由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c1，当k0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1，y2，解得k；同理可得当kb0)，则c1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|3，所
2、以，b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，椭圆的方程为1.5经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于(B)A3BC或3D解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan45(x1)，即yx1.代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x.所以两个交点坐标为A(0，1)，B，所以(0，1).同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.6斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(C)A2BCD解析：设直线l的方程为yxt，代入y21，消去y得x22txt210，由题意知(2t)25(t21)
3、0即t2b0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则ABF(B)A60B90C120D150解析：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程ykxa(k0)，与椭圆方程联立消去y整理得(b2a2k2)x22ka3xa4a2b20，由(2ka3)24(b2a2k2)(a4a2b2)0，得k，从而yxa交x轴于点A，又F(c,0)，易知0，故ABF90.8.过椭圆C：1(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若k，则椭圆C的离心率的取值范围是(C)ABCD解析：由题意可知，|AF|ac，|BF|，于是k.又k
4、，所以，化简可得，从而可得e，选C二、填空题9直线ykxk1与椭圆1的位置关系是相交解析：由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交10已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是.解析：由0bb0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|10，|AF|6，cosABF，则椭圆C的离心率e.解析：设椭圆的右焦点为F1，在ABF中，由余弦定理可解得|BF|8，所以ABF为直角三角形，且AFB90，又因为斜边AB的中点为O，所以|O
5、F|c5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|AF1|8，所以2a14，a7，所以离心率e.12过点M(2,0)的直线m与椭圆y21交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为.解析：过点M(2,0)的直线m的方程为y0k1(x2)，代入椭圆方程化简得(2k1)x28kx8k20，所以x1x2，所以点P，直线OP的斜率k2，所以k1k2.三、解答题13(2010福州市模拟)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，点(1，)在E上(1)求E的方程；(2)设直线l：ykx2与E交于A，B两点，若2(O为坐标原点)，求k的
6、值解：(1)由题意得e，所以c，所以b2a2c2a2，又点(1，)在E上，所以1，联立，解得所以椭圆E的方程为y21.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立得消去y得(14k2)x216kx120.由(16k)248(14k2)0，得k2.由根与系数的关系得x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k44，因为2，所以42，得k2，所以k.14(2020合肥市模拟)设椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若椭圆E的离心率为，ABF2的周长为4.(1
7、)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线解：(1)由题意知，4a4，a.又e，c，b，椭圆E的方程为1.(2)当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线，当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减，得0，即kkOM，kOM.同理可得kON，kOMkON，O，M，N三点共线15过椭圆1(ab0)上的动点M作圆x2y2的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，求EOF面积的最小值解：设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意知PQ斜率存在，且不为0，所以x0y00，则直线MP和MQ的方程分别为x1xy1y，x2xy2y.因为点M在MP和MQ上，所以有x1x0y1y0，x2x0y2y0，则P，Q两点的坐标满足方程x0xy0y，所以直线PQ的方程为x0xy0y，可得E和F，所以SEOF|OE|OF|，因为b2ya2xa2b2，b2ya2x2ab|x0y0|，所以|x0y0|，所以SEOF，当且仅当b2ya2x时取“”，故EOF面积的最小值为.