1、第四节幂函数、二次函数 1幂函数(1)定义：一般地，函数yx叫做幂函数，其中底数x是自变量，是常数(2)幂函数的图象比较：(3)常见的五种幂函数的图象和性质比较：函数yxyx2yx3yxyx1图象性质定义域RRR0，)x|x0值域R0，)R0，)y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0上单调递减；在0，)上单调递增在R上单调递增在0，)上单调递增在(，0)和(0，)上单调递减公共点(1，1)2.二次函数(1)解析式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)图象与性质：解析
2、式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(，)(，)续表值域单调性在x上单调递增；在x上单调递减在x上单调递增；在x上单调递减奇偶性当b0时为偶函数顶点对称性图象关于直线x成轴对称图形1一个易混点函数yax2bxc不能盲目认为是二次函数，要注意对a的讨论，a0，a0，a0.2两个条件：一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是3幂函数yx在第一象限的图象特征(1)1时，图象过(0，0)，(1，1)，下凸递增，例如yx3；(2)01时，图象过(0，0)，(1，1)，上凸递增，例如yx；(3)0
3、时，图象过(1，1)，下凸递减，且以两条坐标轴为渐近线，例如yx1.4巧记幂函数的图象五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即0(1)时的图象是抛物线型(1时的图象是竖直抛物线型，01时的图象是横卧抛物线型)，0时的图象是双曲线型1(基础知识：幂函数定义)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()A B1C D2答案：C2(基础知识：幂函数的单调性)幂函数f(x)x(是有理数)的图象过点，则f(x)的一个单调递减区间是()A.0，) B(0，)C(，0 D(，0)答案：B3(基本应用：二次函数的单调性)若f(x)x2bxc的递增区间为1，)，则b_答案：24(
4、基本能力：幂式不等式)若x1，xa11，则a的取值范围是_解析：因为x1，xa11，所以a10，解得a1.答案：(，1)5(基本方法：数形结合法)设函数f(x)则f(x)f(1)的x的取值范围为_答案：(，0)题型一幂函数的图象和性质 1(2021河南濮阳模拟)已知函数f(x)(m2m1)是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m()A1 B2C3 D2或1解析：函数f(x)(m2m1) 是幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，f(x)x5，其图象与两坐标轴有交点，不合题意；当m1时，f(x)，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m1.答案：A2(2021湖北荆门模拟)已知点
5、在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()A奇函数 B偶函数C定义域内的减函数 D定义域内的增函数解析：设幂函数yf(x)x，把代入函数解析式中，得2，解得1，幂函数f(x)x1，x(，0)(0，)，f(x)是定义域上的奇函数，且在定义域的每个区间内是单调递减函数答案：A3若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：函数yx在(，0)和(0，)上都是减函数，原不等式等价为或或解得a或a1.答案：(，1)方法总结 1待定系数法求解析式，主要待定yx中的“”值2利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较
6、若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数 题型二二次函数的图象与性质 典例剖析类型 1二次函数图象例1二次函数yax2bxc图象的一部分如图所示，图象过点A(3，0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()A B C D解析：因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，正确对称轴为x1，即1，2ab0，错误结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确答案：B方法总结 二次函数的图象要抓住解析式中a，b，c之间的关系，开口方向
7、、对称轴及与x轴、y轴交点类型 2二次函数的单调性例2函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3，0) B(，3C2，0 D3，0解析：当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足条件当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故选项B不可能；选项C，因为a0，0，所以b0，又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故选项C不可能；选项D，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，由图象知f(0)c0.答案：D2若函数f(x)ax2bxc(a0)对于一切实数x都有f(2x)f(2
8、x)，则()Af(2)f(1)f(4) Bf(1)f(2)f(4)Cf(2)f(4)f(1) Df(4)f(2)f(1)解析：因为函数f(x)ax2bxc对任意实数x都有f(2x)f(2x)成立，所以函数图象关于x2对称又a0，所以f(2)最小，由2142，得f(1)f(3)f(4)，所以f(2)f(1)f(4).答案：A3(2020山西太原模拟)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，则实数a的取值范围为_解析：法一：当a0时，f(x)a2，由f(x)0，x(1，4)得或或所以或或所以a1或a1或， 即a；当a0时，解得；当a0时，f(x)2x2，f(1)0，f(
9、4)6，所以不合题意综上可得，实数a的取值范围是.法二：由f(x)0，即ax22x20，x(1，4)，得a在(1，4)上恒成立令g(x)2，g(x)max，所以要f(x)0在(1，4)上恒成立，只要a即可答案：4(母题变式)若将例2函数改为：f(x)的递减区间为1，)，则实数a如何取值？解析：提示：a3.5(母题变式)若将例3改为：“已知函数f(x)x22x1a在0，a上的最大值记为g(a)”，求g(a)并求其最大值解析：f(x)(x1)22a，关于x1对称，又x0，a，当a1时，f(x)在0，a上为增函数，f(x)maxg(a)a22a1aa2a1，当a1时，则f(x)maxf(1)g(a)
10、2a，g(a)当 a1时，g(a)，当a1时，g(a)2a1，g(a)的最大值为. (2019高考天津卷)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)xa(aR)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A BC1 D1解析：法一：如图所示，分别画出两函数yf(x)和yxa的图象先研究当0x1时，直线yxa与y2的图象只有一个交点的情况当直线yxa过点B(1，2)时，2a，解得a，所以0a.再研究当x1时，直线yxa与y的图象只有一个交点的情况()相切时，由y，得x2，此时切点为，则a1.()相交时，由图象可知直线yxa从过点A向右上方移动时与y的图象只有一个交点，过点A(1，1)时，1a，解得a，
11、所以a.结合图象可得，所求实数a的取值范围为1法二：当a1时，f(x)x1，即2x1，设y12，y2x1，在(0，)单调性相反，设g(x)2x1，由于g(0)10，g(1)0，y1与y2的交点在(0，1)，符合题意令x1，得x2，符合题意，排除选项AB.当a时，令2x，设h(x)2x，h(0)0，h(1)0，方程的根在(0，1)，符合题意令x，得x4或x1(舍)，符合题意故排除选项C.答案：D已知幂函数f(x)(m1)2xm24m2在(0，)上单调递增，函数g(x)2xa.x11，5)时，总存在x21，5)，使得f(x1)g(x2)，则a的取值范围是()ABa7或a1Ca7或a1 D1a7解析：由已知得(m1)21，得m0或m2.当m0时，yx2，当m2时，yx2.又yf(x)在(0，)上单调递增，yx2.f(x)在1，5)上的值域为1，25)，g(x)在1，5)上的值域为2a，32a)，即1a7.答案：D