1、第十节变化率与导数、定积分与微积分基本定理1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处导数的定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率_ 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或，即f(x0) _ .(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)_为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin
2、xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0，且a1)f(x)ax_ln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0).4定积分的概念、几何意义和性质(1)定积分的几何意义：f(x)f(x)dx的几何意义f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在a，b上有正有负表示位
3、于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积(2)定积分的性质： kf(x)dxkf(x)dx(k为常数).f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb).5微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿莱布尼茨公式 1求导其实质是一种数学运算，即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件，要注意这一点，如(xn)nxn1中，n0且nQ*.，要满足“”前后各代数式有意义，且导数都存在2(1)f(x0)代表函数f
4、(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)0.(2)f(x)是一个函数，与f(x0)不同3(1)“过”与“在”：曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点4复合函数的导数：复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
5、1(基础知识：求导数值)若f(x)xex，则f(1)等于()A0 BeC2e De2答案：C2(基本能力：导数的运算)已知f(x)xln x，则f(x)()A Bx1Cx Dln x1答案：D3(基本应用：求切线)函数f(x)x3在(0，0)处的切线为()A不存在 Bx0Cy0 Dyx答案：C4(基本应用：求斜率)曲线yex过点(0，0)的切线的斜率为_答案：e5(基本能力：微积分应用) sin dx_答案：2题型一导数的计算 1已知函数f(x)x(2 020ln x)，且f(x0)2 021，则x0()Ae2 B1Cln 2 De解析：f(x)x(2 020ln x)2 020xx ln x
6、，f(x)2 020ln xx2 021ln x.又f(x0)2 021，ln x00，x01.答案：B2若f(x)sin ，则f_解析：f(x)sin ，f(x)cos 2cos ，f2cos 2.答案：23若函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(1)_解析：f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3，解得f(1)2，f(1)1438.答案：84求y的导数解析：y2，y.5求yx sin cos 的导数解析：yx sin cos x sin (4x)x sin 4x，ysin 4xx4cos 4xsin 4x2x cos 4x.方法总结 1求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对
7、函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导2求导公式或求导法则中，要注意“”“”的变化，如(cos x)sin x区分f(x)与f(x0).3复合函数的求导，要分清复合的层次 题型二导数的几何意义及应用 典例剖析类型 1求斜率、切线方程例1(1)(2021吉林白山模拟)已知函数f(x)(2xa
8、)ex，且f(1)3e，则曲线yf(x)在x0处的切线方程为()Axy10 Bxy10Cx3y10 Dx3y10解析：f(x)2ex(2xa)ex(2x2a)ex，f(1)(4a)e3e，解得a1，即f(x)(2x1)ex，f(0)1，则f(x)(2x1)ex，f(0)1，曲线yf(x)在x0处的切线方程为y11(x0)，即xy10.答案：B(2)已知函数f(x)x ln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_解析：点(0，1)不在曲线f(x)x ln x上，设切点为(x0，y0).又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由解得x01，y0
9、0，直线l的方程为yx1，即xy10.答案：xy10类型 2求参数的取值(范围)例2(1)若曲线C1：yx2与曲线C2：y(a0)存在公共切线，则a的取值范围为()A(0，1) BC D解析：易知曲线yx2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，曲线y在点处的切线的斜率为，故2m，由斜率公式得2m，即m2n2，则4n4有解，即y4x4，y的图象有交点即可，两图象相切时有a，所以a.答案：D(2)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，则2ab_解析：由题意知，yx3axb的导数为y3x2a，则由此解得k2，a1，b3，2ab1.答案：1类型3导数与原函数图象关系例3已知函数yf(x)的
10、图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析：由yf(x)的图象是先上升后下降可知，函数yf(x)图象的切线的斜率先增大后减小答案：B方法总结 1求曲线的切线方程，注意已知点是否为切点，其关键点为：(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为yy0f(x0)(xx0).(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步：写出过P(x1，f(x1)的切线方程，为yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点P(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)
11、可得过点P(x0，y0)的切线方程2有关切线问题求参数：对于此类问题，首先明确参数存在何处其关键点为：(1)利用切点，求f(x0)，利用斜率建立关系kf(x0).(2)利用切点的双重性，既在切线上又在曲线上建立关系(3)联立方程组求解题组突破1(2021福建福州质检)如图所示，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1 B0C2 D4解析：依题意得f(3)k321，k，则f(3)k，g(3)f(3)3f(3)110.答案：B2(2021江西赣州模拟)设曲线yln x在x2处的切线与直线axy10垂直
12、，则a的值为()A2 B2C D解析：由f(x)yln x知f(x)，所以f(2)，又切线与直线axy10垂直，即(a)1，所以a2.答案：A题型三微积分基本定理与定积分的计算 典例剖析类型 1求定积分的值例1(1)定积分dx的值为()A BC D2(2)(sin xcos x)dx_(3)sin2dx_解析：(1)(几何法)令y，则(x1)2y21(y0)，由定积分的几何意义可知，dx的值为区域(x1)2y21(y0)，0x1的面积即.(2)(sin xcos x)dxsin xdx cos xdx2.答案：(1)A(2)2(3)类型 2定积分的几何意义例2(1)直线y4x与曲线yx3在第一
13、象限内围成的封闭图形的面积为()A2 B4C2 D4解析：由解得x2或x0或x2.所以直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积应为S(4xx3)dx04.答案：D(2)计算：(x3cos x)dx_解析：(奇偶性法)yx3cos x是奇函数，(x3cos x)dx0.答案：0(3)计算：dx_解析：y，x2y21，y0，dx的几何意义为圆x2y21在第一象限内的面积，dx.答案：方法总结求定积分的常用方法方法解读适合题型定理法利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，可利用此结论检验被积函数的正确性函数较简单几何法用
14、定积分的几何意义来求，即通过图形中面积的计算来求定积分值的大小函数较复杂且有明显的几何意义性质法利用定积分的性质f(x)dxf(x)dxf(x)dx，根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可绝对值函数、分段函数续表奇偶性法若函数f(x)为偶函数，且在区间a，a上连续，则f(x)dx2f(x)dx；若f(x)是奇函数，且在区间a，a上连续，则f(x)dx0函数为奇函数或偶函数题组突破1已知f(x)3x22x1.若f(x)dx2f(a)，则a_解析：f(x)dx(3x22x1)dx(x3x2x)|42f(a)，f(a)3a22a12，解得a1或.答案：
15、1或2如图所示，求由抛物线yx24x3及其在点A(0，3)和点B(3，0)处的切线所围成图形的面积解析：由题意，知抛物线yx24x3在点A处的切线斜率是k1y|x04，在点B处的切线斜率是k2y|x32.因此抛物线过点A的切线方程为y4x3，过点B的切线方程为y2x6.由消去y，得x，即点M的横坐标为.在区间上，直线y4x3在曲线yx24x3的上方；在区间上，直线y2x6在曲线yx24x3的上方因此所求的图形的面积是1(2019高考全国卷)已知曲线yaexx ln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1解析：yaexln x1，
16、ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又切线方程为y2xb，即ae1，b1.答案：D2(2018高考全国卷)设函数(x)x3(a1)x2ax，若(x)为奇函数，则曲线y(x)在点(0，0)处的切线方程为()Ay2x ByxCy2x Dyx解析：法一：(x)x3(a1)x2ax，(x)3x22(a1)xa.又(x)为奇函数，(x)(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，(x)3x21，(0)1，曲线y(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.法二：(x)x3(a1)x2ax为奇函数，(x)3x22(a1)xa为偶函数，a1，即(x)
17、3x21，(0)1，曲线y(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.答案：D3(2019高考全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_.解析：y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率ke033，切线方程为y3x.答案：y3x4(2018高考全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为2，则a_解析：y(axa1)ex，当x0时，ya1，a12，得a3.答案：31(2021湖北宜昌一中模拟)已知函数f(x)xa1的图象是以点(1，1)为对称中心的中心对称图形，g(x)ebxax2bx，若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与曲线yg(x)在点
18、(0，g(0)处的切线互相垂直，则ab_解析：由yx的图象关于点(0，0)对称，且yf(x)的图象可由yx的图象平移得到，且函数f(x)xa1的图象是以点(1，1)为对称中心的中心对称图形，得a21，即a1，所以f(x)x.对f(x)求导，得f(x)1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率k1f(1)1.对g(x)求导，得g(x)bebx2xb，则曲线yg(x)在点(0，g(0)处的切线斜率k2g(0)2b.由两曲线的切线互相垂直，得2b1，即b，所以ab1.答案：2已知函数f(x)x3，则过点P(1，1)的切线方程为_解析：当P(1，1)为切点时，切线方程为y3x2，当P(1，1)不是切点时，求得切点为，切线方程为3x4y10.答案：3xy20或3x4y10