1、第一节函数及其表示1函数的概念(1)设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.(2)函数的三要素：函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数yf(x)，xA，其中定义域：自变量x的取值范围；值域：函数值的集合f(x)|xA2函数的表示法表示函数的常用方法有：解析式法、列表法、图象法3分段函数若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 1两种对应关系f：AB表示从A到B的一个函数，即从A到
2、B的元素是一对一或多对一，值域为B的子集2两个关注点(1)分段函数是一个函数(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集3函数的三要素与相等函数函数的三要素为定义域、对应关系和值域，而值域是由定义域和对应关系确定的，故如果两个函数的定义域、对应关系分别相同，则这两个函数为相等函数1(基础知识：函数的定义域)函数f(x)的定义域为()A0，2) B(2，)C0，2)(2，) D(，2)(2，)答案：C2(基本方法：待定系数法求解析式)若f(x)x2bxc且f(1)0，f(3)0，则f(x)_答案：x24x33(基本应用：利用函数值求参数)已知函数f(x)log2(x2a).若f(3)1，
3、则a_解析：f(x)log2(x2a)且f(3)1，1log2(9a)，9a2，a7.答案：74(基本能力：分段函数求值)已知函数f(x)则f_答案：5(基本应用：根据值域求参数)已知函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是_解析：当x1时，f(x)2x11，函数f(x)的值域为R，当x1时，(12a)x3a必须取遍(，1)内的所有实数，则解得0a.答案：题型一求函数的定义域 1(2021江西九江七校联考)函数y的定义域是()A(1，3)B(1，3C(1，0)(0，3)D(1，0)(0，3解析：由题意得1x3且x0.答案：D2设函数f(x)lg (1x)，则函数f(f(x)的定义域为_.解
4、析：f(f(x)f(lg (1x)lg 1lg (1x).由9x1，所以函数的定义域为(9，1).答案：(9，1)3若函数yf(x)的定义域是1，2 020，则函数g(x)的定义域是_解析：因为yf(x)的定义域为1，2 020，所以要使g(x)有意义，应满足所以0x2 019，且x1.因此g(x)的定义域为x|0x2 019，且x1答案：x|0x2 019，且x14将上边3题改为：若函数yf(x1)的定义域为1，2 020，则f(x)的定义域为_解析：yf(x1)的定义域为1，2 020，即x1，2 020，x12，2 021，f(x)的定义域为2，2 021.答案：2，2 021方法总结
5、1函数的定义域通常由问题的实际背景确定如果只给出解析式yf(x)，而没有指明它的定义域，其定义域就是指使这个式子有意义的实数的集合2一般地：(1)y，是求f(x)0的x的集合；(2)y，是求f(x)0的x的集合；(3)ylogaf(x)，是求f(x)0的x的集合3求抽象函数定义域的方法：(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域可由不等式ag(x)b求出(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域题型二求函数的解析式 典例剖析典例(1)(配凑、换元法)已知f(1)x2，则f(x)的解析式为_(2)(待定系数法)已知f
6、(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式解析：(1)审题互动：x2能否构造出“1”的形式x2是哪个变量在“f”下对应的结果法一：设t1(t1)，则x(t1)2，f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21，f(x)x21(x1).法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21，f(x)x21(x1).答案：f(x)x21(x1)(2)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，则f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab，所以f(x)x2
7、x，xR.方法总结 1由实际问题求解析式，要明确自变量及其范围，根据题意中y与x的实际关系求解2如果已知对应关系：方法解读适合题型配凑法由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式形如yf(g(x)的函数解析式换元法对于形如yf(g(x)的函数解析式，可令tg(x)，从中求出x(t)，然后代入解析式求出f(t)，得到关于t的解析式，再将t换成x，得到f(x)的解析式，此时自变量x的定义域就是tg(x)的值域形如yf(g(x)的函数解析式待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)
8、，通过解方程(组)求出相应的待定系数，从而得到所求函数的解析式已知所求曲线的种类和函数解析式的具体形式解方程组法已知f(x)与f(g(x)满足的关系式，要求f(x)时，可用g(x)代替两边的所有x，得到关于f(x)及f(g(x)的方程组，解之即可得出f(x)已知关于f(x)与f或f(x)与f(x)的解析式对点训练1若f，则当x0，且x1时，f(x)等于()A BC D1解析：设t(t0，t1)，x，f(t)，f(x).答案：B2定义在(1，1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg (x1)，则f(x)_解析：当x(1，1)时，2f(x)f(x)lg (x1)，x(1，1)，2f(x)f(
9、x)lg (x1)，2得3f(x)2lg (x1)lg (x1)，f(x)lg (x1)lg (x1).答案：lg (x1)lg (x1)3已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f1，则f(x)_解析：在f(x)2f1中，用代替x，得f2f(x)1，将f1代入f(x)2f1中，可求得f(x).答案：4(母题变式)将本例(2)变为：已知二次函数f(2x1)4x26x5，则f(x)_解析：法一(换元法)：令2x1t(tR)，则x，所以f(t)465t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR).法二(配凑法)：因为f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9
10、，所以f(x)x25x9.法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)，则f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因为f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9.答案：x25x9题型三简单函数的值域 1(配方法)若函数y3x2x2，x1，3，则y的取值范围为_解析：y3.x1，3，当x1时，ymin3124，当x3时，ymax3323226，y的取值范围为4，26.答案：4，262(分离常数法)若函数y，则函数的值域为_解析：y3，由于0，y3，故函数的值域为(，3)(3，).答案：(，3)(3，)3(换元法)函数f
11、(x)x 的值域为_解析：由1x20，可得1x1，可设xcos ，0，则sin，所以ycos sin sin .由0，知，则sin ，则sin 1，所以函数f(x)的值域为1，.答案：1，方法总结 求简单函数的值域常有：(1)单调性法；(2)配方法；(3)分离常数法；(4)换元法；(5)图象法等要根据解析式的特点，寻求合适的方法 题型四分段函数及应用 典例剖析类型 1已知变量求函数值例1(2021安徽合肥模拟)已知函数f(x)则f (f(1)()A B2C4 D11解析：函数f(x)f(1)1223，f (f(1)f(3)34.答案：C类型 2给定函数值求自变量例2已知f(x)若f(a)，则a
12、_解析：若a0，由f(a)得，a，解得a.若a0，则|sin a|，a，解得a.综上可知，a或.答案：或方法总结分段函数的求解问题(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.类型 3分段函数与不等式问题例3设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_解析：当x0时，f(x)fx1x11，x，x0；当0x时，f(x)f2xx11恒成立；当x时，f(x)f2x2x1恒成立综上，x的取值范围为.答案：方法总结为了化
13、简f(x)f1，根据f(x)的定义域为R，故0，将R分为三段，x(，0，x，x来讨论类型 4分段函数与方程问题、函数零点问题例4函数f(x)的零点个数为()A3 B2C1 D0解析：法一：由f(x)0得或解得x3或xe2.因此函数f(x)共有两个零点法二：函数f(x)的图象如图所示由图可知，函数f(x)共有两个零点答案：B方法总结研究分段函数的零点，可以利用分段解方程，也可以结合图象求交点，要注意图象的分段处是实点还是虚点类型 5分段函数的值域问题例5若函数f(x)(a0且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是()A(1，) B(2，)C(1，2 D(，2解析：当x2时，f(x)82x4，
14、8)，当x2时，f(x)3logax，函数f(x)的值域是4，)，当x2时的值域是4，)的子集，若0a1，则函数f(x)为减函数，不满足条件a1.当x2时，f(x)3logax是增函数，且f(x)3loga2，此时只需43loga28，即1loga25，也即15，则log2a1，解得a2，即实数a的取值范围是(，2.答案：D方法总结分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集要分段研究，利用集合的并集求参数题组突破1设f(x)f(a)f(a1)，则f()A2 B4C6 D8解析：当0a1时，a11，f(a)，f(a1)2(a11)2a.由f(a)f(a1)得 2a，
15、a.此时ff(4)2(41)6.当a1时，a11，f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a.由f(a)f(a1)得2(a1)2a，无解综上，f6.答案：C2(母题变式)将例3已知条件改为：f(x)则f(x)f1的x的取值范围为_解析：当x1时，f(x)x1，fx1，原不等式化为x1x11得x，x1.当1x时，f(x)2x，fx1，原不等式化为2xx11恒成立当x2时，f(x)2x，f2x，原不等式2x2x1恒成立综上，x的取值范围为.答案：3已知函数f(x)有3个零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)有3个零点，a0且函数yax22x1在(2，0)上有2个零点，如图所示，解得a1
16、.答案：4设函数f(x)若f(x0)1，则x0的取值范围是_解析：依题意得或解得0x02或x03.答案：(0，2)(3，) 1(2018高考全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1，0) D(，0)解析：法一(讨论法)：当即x1时，(x1)(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1，因此不等式的解集为(，1.当时，不等式组无解当即1x0时，(x1)(2x)即122x，解得x0.因此不等式的解集为(1，0).当即x0时，(x1)1，(2x)1，不合题意综上，不等式(x1)(2x)的解集为(，0).法二(创新思维：数形结合)：(x)
17、函数(x)的图象如图所示由图可知，当x10且2x0时，函数(x)为减函数，故(x1)(2x)转化为x12x.此时x1.当2x0且x10时，(2x)1，(x1)1，满足(x1)(2x).此时1x0.综上，不等式(x1)(2x)的解集为(，1(1，0)(，0).答案：D2(2019高考全国卷)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0，1 时，f(x)x(x1).若对任意x(，m，都有f(x)，则m的取值范围是()A(， B(，C(， D(，解析：当x(0，1时，f(x)x(x1)，当x(0，1时，f(x).f(x1)2f(x)，当x(1，0时，x1(0，1，f(x)f(x1
18、)(x1)x，f(x)；当x(2，1时，x1(1，0，f(x)f(x1)f(x2)(x2)(x1)，f(x)；当x(1，2时，x1(0，1，f(x)2f(x1)2(x1)(x2)，f(x)；当x(2，3时，x1(1，2，f(x)2f(x1)4f(x2)4(x2)(x3)，f(x)1，0；.f(x)的图象如图所示若对任意x(，m，都有f(x)，则有2m3.设f(m)，则4(m2)(m3)，m或m.结合图象可知，当m时，符合题意答案：B设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1，2 B0，2C1，) D0，)解析：依分段函数可知：若x1，则由f(x)2，得21x2，即1x1，解得x0，此时0x1；若x1，则由f(x)2，得1log2x2，即log2x1，解得x，此时x1.综上可知，满足f(x)2的x的取值范围是0，).答案：D
