1、增分强化练(十九)考点一空间线、面位置关系的判断1在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD，AA12，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：画出图形，如图所示连接AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1即为AB1与BC1所成的角或其补角在B1AD1中，AB1AD1，B1D12，所以由余弦定理得cosB1AD1，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.故选A.答案：A2(2019宝鸡模拟)异面直线a，b所成的角为，直线ac，则异面直线b与c所成角的范围为()A. B.C. D.解析：作b的平行线b，交a于O点(图略)，所有与a垂直的直线平移到O点组成
2、一个与直线a垂直的平面，O点是直线a与平面的交点，在直线b上取一点P，作垂线PP平面，交平面于P，POP是b与面的夹角为，在平面中，所有与OP平行的直线与b的夹角都是，在平面所有与OP垂直的线，由于PP垂直于平面，所以该线垂直于PP，则该线垂直于平面OPP，所以该线垂直于b，故在平面所有与OP垂直的线与b的夹角为，与OP夹角大于0，小于的线，与b的夹角为锐角且大于，故选B.答案：B3在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB4，AB2，CC12，E，F分别为AC，CC1的中点，则直线EF与平面AA1B1B所成的角是()A30 B45C60 D90解析：连接AC1，则EFAC1，直线EF与平面AA
3、1B1B所成的角，就是AC1与平面AA1B1B所成的角；作C1DA1B1于D，连接AD，因为直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB4，所以底面是等腰三角形，则C1D平面AA1B1B，可知C1AD就是直线EF与平面AA1B1B所成的角，CACB4，AB2，CC12，可得C1D3，AD3，所以tanC1AD，所以C1AD30.故选A.答案：A考点二空间线面平行、垂直关系的证明1(2019晋城模拟)若a，b是不同的直线，是不同的平面，则下列命题中正确的是()A若a，b，ab，则B若a，b，ab，则C若a，b，ab，则D若a，b，ab，则解析：A中若a，b，ab，平面，可能垂直也可能平行或斜交；B中若
4、a，b，ab，平面，可能平行也可能相交；C中若a，ab，b，又b，故，所以ab必有；D中若a，b，ab，平面，可能平行也可能相交故选C.答案：C2(2019蚌埠模拟)如图，在以P为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆O的直径长为2，点C在圆O所在平面内，且AC是圆O的切线，BC交圆O于点D，连接PD，OD.(1)求证：PB平面PAC；(2)若AC，求点O到平面PBD的距离解析：(1)证明：因为AB是圆O的直径，AC与圆O切于点A，所以ACAB.又在圆锥中，PO垂直底面圆O，所以POAC，而POABO，所以AC平面PAB，从而ACPB.在PAB中，PA2PB2AB2，所以PAPB，又PAACA所以PB
5、平面PAC.(2)因为AB2，AC，ACAB，所以在直角ABC中，ABC.又ODOB1PO，则OBD是等腰三角形，所以BD，SOBD11sin.又PBPD，所以SPBD，设点O到平面PBD的距离为d，由VPOBDVOPBD，即SOBDPOSPBDd，所以d.考点三空间中的翻折问题1(2019淮南模拟)正三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起(其中P在边AB上，Q在AC边上)，使平面APQ平面BPQC.D，E分别是PQ，BC的中点(1)证明：PQ平面ADE；(2)若折叠后，A，B两点间的距离为d，求d最小时，四棱锥APBCQ的体积解析：(1)证明：在APQ中，APAQ，D是PQ的
6、中点，所以ADPQ.又因为DE是等腰梯形BPQC的对称轴，所以DEPQ.而ADDED，所以PQ平面ADE.(2)因为平面APQ平面BPQC，ADPQ，所以AD平面PBCQ，连结BD，则d2AD2BD2.设ADx，DEax(E为BC的中点)，于是BD2DE2BE2 2a2.因此d2x2BD2x2DE2BE2x22a222a2，当xa时，dmina.此时四棱锥APBCQ的体积为S梯形PBCQADaaa3.2如图1，在菱形ABCD中，AB2，DAB60，M是AD的中点，以BM为折痕，将ABM折起，使点A到达点A1的位置，且平面A1BM平面BCDM，如图2.(1)求证：A1MBD；(2)若K为A1C的中点，求四面体MA1BK的体积解析：(1)证明：在图1中，四边形ABCD是菱形，DAB60，M是AD的中点，ADBM，故在图2中，BMA1M，平面A1BM平面BCDM，平面A1BM平面BCDMBM，A1M平面BCDM，又BD平面BCDM，A1MBD.图1图2(2)在图1中，ABCD是菱形，ADBM，ADBC，BMBC，且BM，在图2中，连接CM，则VA1BCMSBCMA1M21，K是A1C的中点，VMA1BKVKMA1BVCMA1BVA1BCM.