1、第三章 导数及其应用第14讲 导数的概念及运算【学习目标】1了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义2能根据导数定义和基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数【基础检测】1设函数 yf(x)，当自变量 x 由 x0 改变到 x0 x 时，函数的改变量 y 为()Af(x0 x)Bf(x0)xCf(x0)xDf(x0 x)f(x0)D2.设 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0()A.e2 B.e C.ln 22D.ln 2【解析】因 f(x)xln x，所以 f(x)ln x1.由 f(x0)ln x012 解得 x0e.故选 B.B3.设函数 f(x)xsin
2、x，则 f2()A.2B.2C.1 D.1【解析】f(x)sin xxcos xsin2x，则 f2 111，故选 C.C4.如图，直线 l 是曲线 yf(x)在 x4 处的切线，则 f(4)()A.12B.3 C.4D.5【解析】直线过点0，3，4，5，所以直线斜率 k12，f(4)12.A 25已知函数 f(x)（x1）2sin xx21，其导函数记为 f(x)，则 f(2 016)f(2 016)f(2 016)f(2 016)_【解析】f(x)12xsin xx21，f(x)是偶函数，f(2 016)f(2 016)f(2 016)f(2 016)2.【知识要点】1平均变化率及瞬时变化
3、率(1)函数()yf x从1x 到2x 的平均变化率用表示，且 y x(2)函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率是：y xyxVV2121()()f xf xxx0limxV000()()limxf xxf xxVVV2导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0 处的导数就是函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)(2)函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)是一个确定的数，当 x 变化时，f(x)是 x 的一个函数，称 f(x)为 f(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数有时也记作 y，即 yf(x)000()()limx
4、f xxf xxVVV0()()limxf xxf xxVVV0()fx000()()()yf xfxxx瞬时速度0()s t3导数的几何意义和物理意义(1)几何意义：函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f(x0)是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即 kf（x0 x）f（x0）x；切线方程为(2)物理意义：函数 ss(t)在 tt0 处的导数 s(t0)是运动物体在 tt0 时刻的，且 v0limx 4基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数(C)(C 为常数)；(x)；(x2)；1x；(x)012x21x12 x(2)初等函数的导数公式(xn)(nN)；(sin
5、 x)；(cos x)；(ex)；(ax)；(ln x)；(logax)1nnx cos xsin xexlnxaa1x1lnxa5导数的运算法则(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f（x）g（x）；(4)cf(x)cf(x)fxg x fx g xf x g x2()()()()()0)()fxg xf x g xg xg x一、导数的运算例 1(1)已知 fx 是函数 fx 的导数，fx f1 2xx2，f2()A.128ln 212ln 2B.212ln 2C.412ln 2D.2C【解析】(1)因为 fx f1 2xln 22x，所以 f1 f1 2ln 22，解得
6、f(1)212ln 2，所以 fx 212ln 22xln 22x，所以 f2 212ln 222ln 222412ln 2，故选 C.(2)下列求导数运算正确的是()A.x1x 1 1x2B.(x2cos x)2xsin xC.(3x)3xlog3eD.(log2x)1xln 2D【解析】(2)由导数公式及导数的运算法则可知：x1x 1 1x2；(x2cos x)2xcos xx2sin x；(3x)3xln 3；(log2x)1xln 2；只有 D 正确，故选 D.(3)yex1ex1的导数为.y2ex（ex1）2【解析】(3)y（ex1）（ex1）（ex1）（ex1）（ex1）2 ex（
7、ex1）（ex1）ex（ex1）22ex（ex1）2.【点评】求导时可对函数式先化简再求导，会更简便，如(3)中先将分式的常数分离出来再求导就易求，不易出错.利用求导法则和求导公式求函数 yf(x)的导数的基本步骤：(1)分析函数 yf(x)的结构特征；(2)准确地把函数分割为能用求导公式的函数的和、差、积、商；(3)再利用运算法则求导数并整理结果.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.二、导数的几何意义例 2 已知函数 f(x)13x343.(1)求函数 f(x)在点 P(2，4)处的切线方程；(2)求过点 P(2，4)的
8、函数 f(x)的切线方程.【解析】(1)f(x)x2，在点 P(2，4)处的切线的斜率 kf(2)4，函数 f(x)在点 P(2，4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.(2)设函数 f(x)与过点 P(2，4)的切线相切于点Ax0，13x3043，则切线的斜率 kf(x0)x20，切线方程为 y13x3043 x20(xx0)，即 yx20 x23x3043，点 P(2，4)在切线上，42x2023x3043，即 x303x2040，(x01)(x02)20，解得 x01 或 x02，所求的切线方程为 xy20 或 4xy40.【点评】求解过某一点的曲线的切线方程，要先验证该点是
9、在曲线上还是在曲线外，防止出错.1.求曲线过点 P(x0，y0)的切线，需分点 P 是切点和不是切点两种情况讨论.(1)点 P(x0，y0)是切点，则求出曲线 yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率，由点斜式方程求得切线方程为 yy0f(x0)(xx0).(2)当点 P(x0，y0)不是切点，则要分以下几步完成：设出切点坐标 P(x1，y1)；求出过点 P(x1，y1)的切线方程为 yy1f(x1)(xx1)；将点 P 的坐标代入切线方程，求出 x1；将 x1 的值代入方程 yy1f(x1)(xx1)可得过点 P 的切线方程.2.当曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线平行
10、于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为 xx0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.三、导数几何意义在综合问题中的应用例 3 已知函数 f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线 yf(x)在点(a，f(a)处与直线 yb 相切，求 a 与 b 的值；(2)若曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不同交点，求 b 的取值范围.【解析】由 f(x)x2xsin xcos x，得 f(x)x(2cos x).(1)因为曲线 yf(x)在点(a，f(a)处与直线 yb相切，所以 f(a)a(2cos a)0，bf(a).解得 a0，bf(0)1.解得 a0，bf(0)1.(2)令
11、f(x)0，得 x0.f(x)与 f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)f(x)0 f(x)1 所以函数 f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，f(0)1 是 f(x)的最小值.当 b1 时，曲线 yf(x)与直线 yb 最多只有一个交点；当 b1 时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)1b，所以存在 x1(2b，0)，x2(0，2b)，使得 f(x1)f(x2)b.由于函数 f(x)在区间(，0)和(0，)上均单调，所以当 b1 时曲线 yf(x)与直线 yb 有且仅有两个不同交点.综上可知，如果曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不同交点，那
12、么 b 的取值范围是(1，).【点评】(1)利用切线方程的关系是抓准切线的斜率和切点在切线上且在曲线上来解决参数问题.(2)切线与曲线的交点的个数有一个或多个要根据基本图象去判断.备选题例4设函数 f(x)ax3bx2cxd 是奇函数，它的图象记为曲线 C，P(1，f(1)是曲线 C 上的一点，以 P 为切点与曲线 C 相切的直线方程是 l：y2x2.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)过 P 与曲线 C 相切的直线除了 l 外，还存在其他直线吗？若有，请再求出一条来；若没有，请说明理由(3)是否存在这样的实数 t，使过点 Q(1，t)可以作三条直线与曲线 C 相切？若存在，求出实数 t 的
13、取值范围；若不存在，请说明理由【解析】(1)f(x)ax3bx2cxd，由 f(x)是奇函数知 f(x)f(x)对一切实数 x 恒成立，从而 bd0，所以 f(x)ax3cx，f(x)3ax2c.点 P 在 l 上，则有 f(1)0，即 ac0.又 f(1)3ac2，解得 a1，c1，所以 f(x)x3x，f(x)3x21.(2)存在其他切线 m 过点 P.设切点 T(x0，x30 x0)且 x01，则 kPTf(x0)，即x30 x0 x01 3x201，即 2x20 x010，解得 x01(舍去)或 x012，切点为12，38，可得切线方程为 x4y10.(3)同(2)，切点为 T(x0，
14、x30 x0)，则有 kQTf(x0)，即x30 x0tx013x201，t2x303x201.设 g(s)2s33s21t，三条直线与曲线 C 相切，则函数 g(s)2s33s21t 必有三个不同的零点，也即 g(s)的极大值为正，极小值为负 由 g(s)6s26s6s(s1)知，g(s)在(，0)，(1，)上递增，在(0，1)上递减，则g（0）0，g（1）0，t0，0t0，aR)在点(b，f(b)处的切线斜率的最小值是.2 2【解析】因为 f(x)2ln xx2bxa，f(x)2x2xb，所以 k2b2bb2bb2 2，当且仅当2bb 时取等号，即 b 2时，k 取得最小值为 2 2.6.
15、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)1，f(x)为 f(x)的导函数，已知yf(x)的图象如下图所示，若两个正数 a，b 满足 f(2ab)1，则b2a2的取值范围是.12，3【解析】由导数图像可知，0 上函数递减，0，上函数递增，f2ab 1，即 f2ab f4，即 02ab0b02ab0，如图：b2a2表示可行域内的点到 D2，2 连线的斜率的取值范围 kCD3，kBD12，所以取值范围为12，3.7.已知函数 f(x)ax3bx23x 在 x1 处取得极值.(1)求 a、b 的值；(2)求过点 A(0，16)且与曲线 yf(x)相切的切线方程.【解析】(1)f(x)3ax22bx
16、3，依题意，f(1)f(1)0，即3a2b303a2b30，解得 a1，b0.(2)曲线方程为 yx33x，点 A(0，16)不在曲线上.(2)曲线方程为 yx33x，点 A(0，16)不在曲线上.设切点为 M(x0，y0)，则点 M 的坐标满足 y0 x303x0.因 f(x0)3(x201)，故切线的方程为 yy03(x201)(xx0)，注意到点 A(0，16)在切线上，有 16(x303x0)3(x201)(0 x0)，化简得：x308，解得 x02.所以，切点为 M(2，2)，切线方程为 9xy160.8.设函数 f(x)ex(ln xa)，e 是自然对数的底数，e2.718，aR
17、为常数.(1)若 yf(x)在 x1 处的切线 l 的斜率为 2e，求a 的值；(2)在(1)的条件下，证明：切线 l 与曲线 yf(x)在区间0，12 至少有 1 个公共点.【解析】(1)f(x)exln xa1x，依题意，kf(1)e1ln 1a11 2e，解得 a1.(2)由(1)f(1)e，直线 l 的方程为 ye2e(x1)，即 y2exe.设 g(x)f(x)(2exe)ex(ln x1)2exe，则 g12 e(1ln 2)0，g(e4)3ee42e3e3e0，因为 yg(x)在e4，12 上是连续不断的曲线，g(e4)g12 0，求函数 F(x)af(x)在a，2a上的最小值.【解析】(1)f(x)定义域为0，f(x)1ln xx2，f1e e，又kf1e 2e2，函数 yf(x)在 x1e处的切线方程为：ye2e2x1e，即 y2e2x3e.(2)令 f(x)0 得 xe，当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(0，e)上为增函数，当 x(e，)时，f(x)0，由(2)知：F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减 F(x)在a，2a 上的最小值 fmin(x)minF(a)，F(2a)，F(a)F(2a)12lna2，当 0a2 时，F(a)F(2a)0，fmin(x)F(a)ln a；当 20，fmin(x)F(2a)12ln 2a.