1、1993年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷1至3页，第卷4至9页，共150分考试时间120分钟第卷(选择题共68分)注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回一、选择题：本大题共17小题；每小题4分，共68分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)函数f (x)=sinx+cosx的最小正周期是( ) (A) 2； (
2、B) ； (C) ； (D) 。(2)如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) 2。(3)和直线3x4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为( ) (A) 3x+4y5=0； (B) 3x+4y+5=0； (C) 3x+4y5=0； (D) 3x+4y+5=0。(4)极坐标方程所表示的曲线是( )(A) 焦点到准线距离为的椭圆； (B) 焦点到准线距离为的双曲线右支；(C) 焦点到准线距离为的椭圆； (D) 焦点到准线距离为的双曲线右支。(5)在1，1上是( ) (A) 增函数且是奇函数； (B) 增函数且是偶函数； (
3、C) 减函数且是奇函数； (D) 减函数且是偶函数。(6)的值为( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。(7) 集合，则( ) (A) M=N； (B) ； (C) ； (D) 。(8)sin20cos70+sin10sin50的值是( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。(9)参数方程 表示( )(A) 双曲线的一支，这支过点； (B) 抛物线的一部分，这部分过；(C) 双曲线的一支，这支过点； (D) 抛物线的一部分，这部分过。(10)若a、b是任意实数，且ab，则( ) (A) a2b2； (B) ； (C) lg(ab)0； (D) 。(11)一动圆与两圆x
4、2+y2=1和x2+y28x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为( ) (A) 圆； (B) 椭圆； (C) 双曲线的一支； (D) 抛物线。(12)圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。(13)(+1)4(x1)5展开式中x4的系数为( ) (A) 40； (B) 10； (C) 40； (D) 45。(14)直角梯形的一个内角为45，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+)，则旋转体的体积为( ) (A) 2； (B) ； (C) ； (D) 。(15)已知a1，a2，a8为各项都大于零的
5、等比数列，公式q1，则( )(A) a1+ a8 a4+ a5 ；(B) a1+ a80，a1)()求f (x)的定义域；()判断f (x)的奇偶性并予以证明；()求使f (x)0的x取值范围(25)(本小题满分12分)已知数列Sn为其前n项和计算得 观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明(26)(本小题满分12分)已知：平面平面=直线a，同垂直于平面，又同平行于直线b求证：()a；()b(27)(本小题满分12分)在面积为1的PMN中，tgPMN=，tgMNP=2建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程(28)(本小题满分12分)设复数，并且，求1993年普通
6、高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：1本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数4只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分68分(1)A (2)C
7、(3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分24分(18) (19)k|k| (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30三、解答题(24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力满分12分解 ()由对数函数的定义知 1分如果，则1x1，loga等价于， 而从()知1x0，故等价于1+x1x，又等价于x0故对a1，当x(0，1)时有f(x)0 9分()对0a1，loga
8、等价于00，故等价于1x0故对0a0 12分(25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法满分10分解 4分证明如下：()当n=1时，等式成立 6分()设当n=k时等式成立，即 7分则由此可知，当n=k+1时等式也成立 9分根据()()可知，等式对任何nN都成立 10分(26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力满分12分证法一()设=AB，=AC在内任取一点P并于内作直线PMAB，PNAC 1分 ， PM而 a， PMa同理PNa 4分又 PM，PN， a 6分()于a上任取点Q，过b与Q作一平面交于直线a1，交于直线a27分 b， ba
9、1同理ba2 8分 a1，a2同过Q且平行于b， a1，a2重合又 a1，a2， a1，a2都是、的交线，即都重合于a 10分 ba1， ba而a， b 12分注：在第部分未证明ba而直接断定b的，该部分不给分证法二()在a上任取一点P，过P作直线a 1分 ，P， a同理a 3分可见a是，的交线因而a重合于a 5分又 a， a 6分()于内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与交于直线c同法过b作平面与交于直线d 7分 b，b bc，bd 8分又 c，d，可见c与d不重合因而cd于是c 9分 c，c，=a， ca 10分 bc，ac，b与a不重合(b，a)， ba 11分而 a， b 12分注
10、：在第部分未证明ba而直接断定b的，该部分不给分(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力满分12分解法一如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M (c，0)，N (c，0) 1分由tgM=，tg=tg(MNP)=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(xc)将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为(c，c) 5分在MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故由题设条件SMNP=1， c=，即P点坐标为 7分由两点间的距离公式， 得 10分又 b2=a2c
11、2=，故所求椭圆方程为 12分解法二同解法一得，P点的坐标为 7分 点P在椭圆上，且a2=b2+c2 化简得3b48b23=0解得b2=3，或b2= (舍去) 10分又 a2=b2+c2=3+故所求椭圆方程为 12分解法三同解法一建立坐标系 1分 P=PMN， P为锐角 sinP=，cosP=而 SMNP=|PM|PN|sinP=1， |PM|PN|= 4分 |PM|+|PN|=2a，|MN|=2c，由余弦定理，(2c)2=|PM|2+|PN|22|PM|PN|cosP=(|PM|+|PN|)22|PM|PN|(1+cosP)=(2a)222， c2=a23，即b2=3 7分又 sinM=，sinN=，由正弦定理， 即 ， a=c 10分 a2=b2+c2=3+ a2=故所求椭圆方程为 12分(28)本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力满分12分解法一 2分 5分 6分因，故有()当时，得或，这时都有，得，适合题意 10分()当时，得或，这时都有，得，不适合题意，舍去综合()、()知或 2分解法二：记，得 2分 5分 ， 8分当成立时，恒成立，所以应满足() ，或() ， 10分解()得或()无解综合()、() 或 12分