1、2015-2016学年四川省眉山中学高三（上）期中数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数（a21）+（a1）i是纯虚数，则实数a的值为( )A1B0C1或1D12已知集合U=1，2，3，4，M=x|x25x+p=0，若UM=2，3，则实数p的值( )A6B4C4D63在等比数列an中，a1=3，a6=6，则a16等于( )A6B12C24D484下列选项中，说法正确的是( )A命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0”B命题“pq为真”是命题“pq为真”的充分不必要条件C命题“若am2bm2，则ab”是
2、假命题D命题“在ABC中，若sinA，则A”的逆否命题为真命题5等差数列an中，2a3a72+2a11=0，数列bn是等比数列，且b7=a70，则b2b12=( )A2B4C8D166设点P是曲线上的任意一点，P点处切线倾斜角为，则角的取值范围是( )ABCD7已知数列an中，a1=3，a2=6，an+2=an+1an，则a2015=( )A6B6C3D38已知平面向量=（2cos2x，sin2x），=（cos2x，2sin2x），f（x）= 要得到y=2cos（2x）的图象，只需要将y=f（x）的图象( )A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位9已知函数f（x）=l
3、og2（x2ax+3a）在2，+）上是增函数，则a的取值范围是( )A（，4B（，2C（4，4D（4，210函数y=ln的图象大致是( )ABCD11设f1（x）=|x1|，f2（x）=x2+6x5，函数g（x）是这样定义的：当f1（x）f2（x）时，g（x）=f1（x），当f1（x）f2（x）时，g（x）=f2（x），若方程g（x）=a有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是( )Aa4B0a4C0a3D3a412已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f（x），当x0时，2f（x）+xf（x）0恒成立，则f（1），2014，2015在大小关系为( )A20152014f（1）B20
4、15f（1）2014Cf（1）20152014Df（1）20142015二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知sin+cos=，则sin2=_14在等差数列an中，a1=2015，其前n项和为Sn，若=2，则S2015的值等于：_15在ABC中，已知a、b、c成等比数列，且，则=_16已知函数f（x）=|x22ax+b|（xR），给出下列四个命题：f（x）必是偶函数；当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于x=1对称；若a2b0，则f（x）在区间a，+）上是增函数；f（x）有最大值|a2b|其中所有真命题的序号是_三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明
5、，证明过程或演算步骤.17在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，），=（sinx，cosx），x（0，）（1）若，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值18在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若a=2，b=2，cosA=且cb（1）求c的值；（2）求ABC的面积及AB边上的高19设数列an的前n项和为Sn，且对nN*都有Sn=2an+n4（1）求证：数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）数列bn 满足bn=，（nN*）求数列bn的前n项和为Tn20设函数f（x）=+ax，aR（）若f（x）在区间上存在单调递减区间，求a的取值范围；（）当4a0时，f（x）在区
6、间0，3上的最大值为15，求f（x）在0，3上的最小值21已知数列an是等比数列，首项a1=1，公比q0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足anbn=n，求数列bn的前n项和Tn22已知f（x）=xaex（aR，e为自然对数的底）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）e2x对xR恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）有两个不同零点x1，x2，求证：x1+x222015-2016学年四川省眉山中学高三（上）期中数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中
7、，只有一项是符合题目要求的1若复数（a21）+（a1）i是纯虚数，则实数a的值为( )A1B0C1或1D1【考点】复数的基本概念 【专题】计算题；函数思想；数系的扩充和复数【分析】利用复数的实部为0，虚部不为0，求解即可【解答】解：复数（a21）+（a1）i是纯虚数，可得a21=0，并且a10，解得a=1故选：D【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题2已知集合U=1，2，3，4，M=x|x25x+p=0，若UM=2，3，则实数p的值( )A6B4C4D6【考点】并集及其运算 【专题】计算题【分析】根据题目给出的全集及集合UM求得集合M，然后利用根与系数关系求解p的值【解答】解：由U=1，2，
8、3，4，M=x|x25x+p=0，若UM=2，3，所以M=1，4由根与系数关系得：p=14=4故选C【点评】本题考查了补集及其运算，考查了一元二次方程的根与系数关系，是基础的运算题3在等比数列an中，a1=3，a6=6，则a16等于( )A6B12C24D48【考点】等比数列的通项公式 【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由已知条例利用等比数列的通项公式先求出公比，由此利用等比数列的通项公式能求出结果【解答】解：在等比数列an中，a1=3，a6=6，3q5=6，解得q=，a16=24故选：C【点评】本题考查比数列的等16项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的
9、合理运用4下列选项中，说法正确的是( )A命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0”B命题“pq为真”是命题“pq为真”的充分不必要条件C命题“若am2bm2，则ab”是假命题D命题“在ABC中，若sinA，则A”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用 【专题】简易逻辑【分析】根据特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，逐一分析四个答案是否成立，最后综合讨论结果，可得结论【解答】解：对于A，命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0”，故错误；对于B，命题“pq为真”是命题“pq为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若am2bm2，则ab”在m=0时，不一定成
10、立，故是假命题，故正确；对于D，“在ABC中，若sinA，则A或A”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选：C【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，难度不大，属于基础题5等差数列an中，2a3a72+2a11=0，数列bn是等比数列，且b7=a70，则b2b12=( )A2B4C8D16【考点】等差数列的通项公式 【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】根据等差数列的性质化简已知条件，得到关于a7的方程，求出方程的解得到a7的值，进而得到b7的值，则b2b12可求【解答】解：根据等差数列的性质得：a3+a
11、11=2a7，由2a3a72+2a11=0，得4a7a72=0，解得a7=4，a7=0（舍去），b7=a7=4，则b2b12=故选：D【点评】本题考查等差数列的性质，考查了学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是基础题6设点P是曲线上的任意一点，P点处切线倾斜角为，则角的取值范围是( )ABCD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角 【专题】计算题【分析】求出曲线解析式的导函数，根据完全平方式大于等于0求出导函数的最小值，由曲线在P点切线的斜率为导函数的值，且直线的斜率等于其倾斜角的正切值，从而得到tan的范围，由的范围，求出的范围即可【解答】解：y=3x2，tan，又0，0或 则
12、角的取值范围是0，），）故选C【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用切线的斜率与倾斜角之间的关系k=tan进行求解7已知数列an中，a1=3，a2=6，an+2=an+1an，则a2015=( )A6B6C3D3【考点】数列递推式 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用a1=3，a2=6，an+2=an+1an，可得an+5=an即可得出【解答】解：a1=3，a2=6，an+2=an+1an，a3=3，a4=3，a5=6，a5=3，a6=3，a7=6，an+5=an则a2015=a5403=a5=3故选：C【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的周
13、期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8已知平面向量=（2cos2x，sin2x），=（cos2x，2sin2x），f（x）= 要得到y=2cos（2x）的图象，只需要将y=f（x）的图象( )A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，即可得出结论【解答】解：=（2cos2x，sin2x），=（cos2x，2sin2x），y=2cos（2x）=2cos2（x），f（x）=2cos4x2sin4x=2（
14、cos2xsin2x）=2cos2x，把y=f（x）的图象向右平行移动个单位，可得y=2cos2（x）=2cos（2x）的图象故选：D【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题9已知函数f（x）=log2（x2ax+3a）在2，+）上是增函数，则a的取值范围是( )A（，4B（，2C（4，4D（4，2【考点】复合函数的单调性；二次函数的性质；对数函数的单调区间 【专题】计算题【分析】若函数f（x）=log2（x2ax+3a）在2，+）上是增函数，则x2ax+3a0且f（2）0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范
15、围【解答】解：若函数f（x）=log2（x2ax+3a）在2，+）上是增函数，则当x2，+）时，x2ax+3a0且函数f（x）=x2ax+3a为增函数即，f（2）=4+a0解得4a4故选C【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键10函数y=ln的图象大致是( )ABCD【考点】正弦函数的图象 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据f（x）=f（x），可得函数的图象关于y轴对称，故排除B、D，再根据当x（0，1）时，ln0，从而排除C，从而得到答案【
16、解答】解：函数y=ln，x+sinx0，x0，故函数的定义域为x|x0再根据y=f（x）的解析式可得f（x）=ln（）=ln（）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D当x（0，1）时，0sinxx1，01，函数y=ln0，故排除C，只有A满足条件，故选：A【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，属于中档题11设f1（x）=|x1|，f2（x）=x2+6x5，函数g（x）是这样定义的：当f1（x）f2（x）时，g（x）=f1（x），当f1（x）f2（x）时，g（x）=f2（x），若方程g（x）=a有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是(
17、)Aa4B0a4C0a3D3a4【考点】函数的最值及其几何意义；带绝对值的函数；二次函数的图象；根的存在性及根的个数判断 【专题】计算题；数形结合【分析】先画出函数g（x）的图象其图象由三段构成，即再将方程g（x）=a有四个不同的实数解问题转化为函数g（x）的图象与函数y=a的图象有四个不同交点，最后数形结合求得a的取值范围【解答】解：f1（x）=|x1|，f2（x）=x2+6x5的图象如图，函数g（x）的图象为两函数中位置在上的部分，即由得A（4，3），f2（x）=x2+6x5的顶点坐标为B（3，4）要使方程g（x）=a有四个不同的实数解，即函数g（x）的图象与函数y=a的图象有四个不同交点
18、数形结合可得3a4故选D【点评】本题考察了函数与方程的关系，考察了数形结合的思想方法，解题时要能将代数问题转化为几何问题，运用函数图象解方程或解决根的个数问题12已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f（x），当x0时，2f（x）+xf（x）0恒成立，则f（1），2014，2015在大小关系为( )A20152014f（1）B2015f（1）2014Cf（1）20152014Df（1）20142015【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；导数的运算 【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用【分析】首先利用换元法设g（x）=x2f（x），进一步利用函数的导数求出函数g（
19、x）的单调性，再利用函数的奇偶性求出函数在对称区间里的单调性，最后求出函数大小关系【解答】解：已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f（x），则：设函数g（x）=x2f（x）则：g（x）=2xf（x）+x2f（x）=g（x）=x（2f（x）+xf（x）当x0时，2f（x）+xf（x）0恒成立，则：函数g（x）0所以函数在x0时，函数g（x）为单调递增函数由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，则：函数g（x）=x2f（x）为奇函数所以：在x0时，函数g（x）为单调递增函数所以：g（）即：故选：D【点评】本题考查的知识要点：利用函数的导数求函数的单调性，函数的奇偶性和函数单调性的关系二、
20、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知sin+cos=，则sin2=【考点】二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用 【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，再利用二倍角的正弦函数公式变形，即可求出sin2的值【解答】解：把已知等式两边平方得：（sin+cos）2=1+2sincos=，即2sincos=，则sin2=2sincos=，故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键14在等差数列an中，a1=2015，其前n项和为Sn，
21、若=2，则S2015的值等于：2015【考点】等差数列的前n项和 【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由已知推导出是以2015为首项，以1为公差的等差数列由此能求出S2015【解答】解：设等差数列前n项和为Sn=An2+Bn，则 =An+B，成等差数列=2015，是以2015为首项，以1为公差的等差数列=1，S2015=2015故答案为：2015【点评】本题考查数列的前2015项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用15在ABC中，已知a、b、c成等比数列，且，则=【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算 【专题】计算题；解三角形【分析】先求a+c的平
22、方，利用a、b、c成等比数列，结合余弦定理，求解ac的值，然后求解【解答】解：a+c=3，a2+c2+2ac=9a、b、c成等比数列：b2=ac又cosB=，由余弦定理：b2=a2+c22accosB可得b2=a2+c2ac解代入得b2=92acac，又b2=ac，ac=2，=accos（B）=accosB=故答案为：【点评】本题考查平面向量数量积的运算，等比数列的性质，余弦定理，考查学生分析问题解决问题的能力16已知函数f（x）=|x22ax+b|（xR），给出下列四个命题：f（x）必是偶函数；当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于x=1对称；若a2b0，则f（x）在区间a，+）上是增
23、函数；f（x）有最大值|a2b|其中所有真命题的序号是【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义 【分析】当a0时，f（x）不具有奇偶性，故不正确；令a=0，b=2，则f（x）=|x22|，此时f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x22|的对称轴为y轴而不关于x=1对称，故不正确；若ba20，即f（x）的最小值ba20时，f（x）=（xa）2+（ba2），显然f（x）在a，+）上是增函数，故正确；又f（x）无最大值，故不正确【解答】解：当a0时，f（x）不具有奇偶性，错误；令a=0，b=2，则f（x）=|x22|，此时f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x22
24、|的对称轴为y轴而不关于x=1对称，错误；又f（x）=|x22ax+b|=|（xa）2+ba2|，图象的对称轴为x=a根据题意a2b0，即f（x）的最小值ba20，f（x）=（xa）2+（ba2），显然f（x）在a，+）上是增函数，故正确；又f（x）无最大值，故不正确答案：【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，），=（sinx，cosx），x（0，）（1）若，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的
25、夹角 【专题】平面向量及应用【分析】（1）若，则=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值【解答】解：（1）若，则=（，）（sinx，cosx）=sinxcosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）|=，|=1，=（，）（sinx，cosx）=sinxcosx，若与的夹角为，则=|cos=，即sinxcosx=，则sin（x）=，x（0，）x（，）则x=即x=+=【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础18在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、
26、c，若a=2，b=2，cosA=且cb（1）求c的值；（2）求ABC的面积及AB边上的高【考点】解三角形 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形【分析】（1）由题意和余弦定理可得c的方程，解方程由cb可得；（2）S=bcsinA，代值计算可得，设AB边上的高为h，由等面积可得h的方程，解方程可得【解答】解：（1）由题意和余弦定理可得22=（2）2+c222c，解得c=2或c=4，由cb可得c=2；（2）ABC的面积S=bcsinA=，设AB边上的高为h，由等面积可得2h=，解得h=【点评】本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面积公式，属基础题19设数列an的前n项和为Sn，且对nN
27、*都有Sn=2an+n4（1）求证：数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）数列bn 满足bn=，（nN*）求数列bn的前n项和为Tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）利用递推公式化为：an=2an11，变形为an1=2（an11），即可证明（2）由（1）可知：an1=2n，即an=2n+1可得bn=，利用“裂项求和”即可得出【解答】（1）证明：对nN*都有Sn=2an+n4，当n=1时，a1=2a13，解得a1=3当n2时，an=SnSn1=2an+n42an1+（n1）4=2an2an1+1，化为an=2an1
28、1，变形为an1=2（an11），数列an1是等比数列，首项为2，公比为2，（2）解：由（1）可知：an1=2n，即an=2n+1bn=，（nN*）数列bn的前n项和为Tn=+=1=【点评】本题考查了“裂项求和”、等比数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20设函数f（x）=+ax，aR（）若f（x）在区间上存在单调递减区间，求a的取值范围；（）当4a0时，f（x）在区间0，3上的最大值为15，求f（x）在0，3上的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】导数的综合应用【分析】（）求出导函数，利用f（x）在区间上存在单调递减区
29、间，转化为导函数f（x）=x2+2x+a在上存在函数值小于零的区间，列出不等式求解a的范围即可（）判断导函数的开口方向，对称轴，利用函数f（x）的上单调性，求出a，然后求解最小值【解答】解：（）函数f（x）=+ax，aR可得f（x）=x2+2x+a由条件f（x）在区间上存在单调递减区间，知导函数f（x）=x2+2x+a在上存在函数值小于零的区间，只需，解得，故a的取值范围为（）f（x）=x2+2x+a的图象开口向上，且对称轴x=1，f（0）=a0，f（3）=9+6+a=15+a0，所以必存在一点x0（0，3），使得f（x0）=0，此时函数f（x）在0，x0上单调递减，在x0，3单调递增，又由于
30、f（0）=0，f（3）=9+9+a=18+3a0=f（0）所以f（3）=18+3a=15，即a=1，此时，由，所以函数【点评】本题考查函数的导数的应用，导函数的性质，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力21已知数列an是等比数列，首项a1=1，公比q0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足anbn=n，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解
31、：（1）S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，2（S3+a3）=S2+a2+S1+a1，=3a1+2a1q，化为4q2=1，公比q0，q=an=（2）anbn=n，bn=n2n1数列bn的前n项和Tn=1+22+322+n2n1，2Tn=2+222+323+（n1）2n1+n2n，Tn=1+2+22+2n1n2n=n2n=（1n）2n1，Tn=（n1）2n+1【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22已知f（x）=xaex（aR，e为自然对数的底）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）e2x对xR恒
32、成立，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）有两个不同零点x1，x2，求证：x1+x22【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性 【专题】计算题；作图题；证明题；导数的综合应用【分析】（1）求导f（x）=1aex，由导数的正负确定函数的单调性；（2）f（x）e2x对xR恒成立可化为xaexe2x对xR恒成立，故a对xR恒成立，令F（x）=，从而化成最值问题；（3）由题意可求出0a；则a=的两个不同根为x1，x2，做y=的图象，利用数形结合证明【解答】解：（1）当a0时，易知f（x）=xaex在R上是增函数，当a0，f（x）=1aex，故当xlna时，f（x）0，当x
33、lna时，f（x）0；故函数f（x）在（，lna）上是增函数，在（lna，+）上是减函数；（2）f（x）e2x对xR恒成立可化为xaexe2x对xR恒成立，故a对xR恒成立，令F（x）=，则F（x）=；则当x0时，F（x）0，x0时，F（x）0；故F（x）=在x=0处有最大值F（0）=1；故a1；（3）证明：函数f（x）有两个不同零点x1，x2，结合（1）可知，lnaaelna0，解得，0a；则x1=aex1，x2=aex2；则a=的两个不同根为x1，x2，令g（x）=，则g（x）=，知g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减；又当x（，0时，g（x）0，故不妨设x1（0，1），x
34、2（1，+）；对于任意a1，a2（0，），设a1a2，若g（m1）=g（m2）=a1，g（n1）=g（n2）=a2，其中0m11m2，0n11n2，g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减；又g（m1）g（n1），g（m2）g（n2）；m1n1，m2n2；故随着a的减小而增大，令=t，x1=aex1，x2=aex2，可化为x2x1=lnt；t1；则x1=，x2=；则x2+x1=，令h（t）=，则可证明h（t）在（1，+）上单调递增；故x2+x1随着t的增大而增大，即x2+x1随着的增大而增大，故x2+x1随着a的减小而增大，而当a=时，x2+x1=2；故x2+x12【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题