1、一、填空题1函数f(x)的零点个数为_解析：x0时，f(x)0x22x30，x3(x1舍去)x0时，f(x)02ln x0，xe2.答案：22方程|x|(x1)k0有三个不相等的实根，则k的取值范围是_解析：本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法，即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根本题显然考虑第一种方法如图，作出y|x|(x1)(分段函数)的图象，由图象知当k时，函数yk与y|x|(x1)有三个不同的交点，即方程有三个不相等的实根答案：3(2011年陕西)方程|x|cos x在(，)内没有根有且仅有一个根有且仅有两个根有无穷多个根上述说法正确的有_解析：求解方程|
2、x|cos x在(，)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)|x|和g(x)cos x在(，)内的交点个数问题f(x)|x|和g(x)cos x的图象如图所示显然有两交点，即原方程有且仅有两个根答案：4方程log2(x4)2x的根有_个解析：作函数ylog2(x4)，y2x的图象如图所示，两图象有两个交点，且交点横坐标一正一负，方程有一正根和一负根答案：25函数y的图象与函数y2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于_解析：如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在2,4上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.答案：86函数f(x
3、)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)，则n_.解析：f(2)1ln 20，n2.答案：27关于x的实系数方程x2ax2b0的一根在区间0,1上，另一根在区间1,2上，则2a3b的最大值为_解析：令f(x)x2ax2b，据题意知函数在0,1，1,2内各存在一零点，结合二次函数图象可知满足条件：在直角坐标系中作出满足不等式的点(a，b)所在的可行域，问题转化为确定线性目标函数：z2a3b的最优解，结合图形可知当a3，b1时，目标函数取得最大值9.答案：98(2011年北京)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_解析：当x2时，f(x)3(x1
4、)20，说明函数在(，2)上单调递增，函数的值域是(，1)，又函数在2，)上单调递减，函数的值域是(0,1因此要使方程f(x)k有两个不同的实根，则0k1.答案：(0,1)9(2011山东)已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.解析：令y1logax，y2bx，函数f(x)的零点就是这两个函数图象交点的横坐标，由于直线y2bx在y轴上的截距b满足3b4，结合函数图象，函数f(x)只有一个零点，且n只能是1或者2或者3.f(1)1b0，f(2)loga22b1230，f(3)loga33b1340.根据函数零点存在性定理
5、可得，函数f(x)的零点在区间(2,3)内，故n2.答案：2二、解答题10方程x33xa有三个实数根，求实数a的取值范围解析：设f(x)x33x，则f(x)3x23，当x1或x1时，f(x)0，函数f(x)在(，1)和(1，)上都递增；当1x1时，f(x)0，故f(x)在1,1上递减，所以f(x)极大f(1)2，f(x)极小f(1)2，因此欲使直线ya与yf(x)的图象有三个交点，只需2a2，即当2a2时，方程x33xa有三个实数根11已知集合P，2，函数ylog2(ax22x2)的定义域为Q.(1)若PQ，求实数a的取值范围；(2)若方程log2(ax22x2)2在，2内有解，求实数a的取值
6、范围解析：(1)若PQ，则在x，2内，至少有一个值x使得ax22x20成立，即在x，2内，至少有一个值x使得a成立设2()2，当x，2时，4，a4，所以实数a的取值范围是a|a4(2)方程log2(ax22x2)2在，2内有解，则ax22x20在，2内有解即在x，2内有值x使得a成立，2()2.当x，2时，12，a，12，所以实数a的取值范围为a，1212设f(x)3ax22bxc，若abc0，f(0)0，f(1)0，求证：(1)a0，且21；(2)方程f(x)0在(0,1)内有两个相异实根. 证明：(1)因为f(0)0 ，f(1)0，所以c0,3a2bc0.由条件abc0，消去c，则ab0,2ab0，a0，故21.(2)抛物线f(x)3ax22bxc的顶点坐标为.在21的两边同乘以，得.又因为f(0)0，f(1)0，而f0，所以方程f(x)0在区间与内分别有一实根故方程f(x)0，在(0,1)内有两个相异实根 高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )