1、4.2对数与对数函数4.2.1对数运算学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化(重点)2理解对数的底数和真数的取值范围(易混点)3掌握对数的基本性质及对数恒等式(难点)1通过对数定义及相关概念的学习，培养数学抽象素养2通过对数性质的学习，培养数学运算核心素养.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，.问题：依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？提示2x个，3次，8次；由2xN可知，当N已知时，x的值即为分裂次数知识点1对数的定义及相关
2、概念1对数的概念在表达式abN(a0且a1，N(0，)中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作blogaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数2对数恒等式aN.3常用对数以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg N.4自然对数在科学技术中常使用以无理数e2.718 28为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.如何准确理解指数式与对数式的关系？提示(1)指数式和对数式的关系如图所示：(2)指数式和对数式各部分的名称：式子名称abN指数式abN底数指数幂对数式logaNb底数对数真数1思考辨析(正确的
3、画“”，错误的画“”)(1)根据对数的定义，因为(2)416，所以log(2)164.()(2)对数式log32与log23的意义一样()(3)因为1a1，所以log11a.()(4)log(2)(2)1()提示(1).因为对数的底数a应满足a0且a1，所以(1)错；(2).log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3).因为对数的底数a应满足a0且a1，所以(3)错；(4).因为对数的底数a应满足a0且a1，真数应大于0，所以(4)错答案(1)(2)(3)(4)22_.3由对数恒等式得，23.知识点2对数的性质性质1负数和零没有对数性质21的对数是0，即
4、loga10(a0且a1)性质3底数的对数是1，即logaa1(a0且a1)3.若log3(log2x)0，则x_.log3(log2x)0，log2x301，x2，即x. 类型1对数的概念【例1】(1)对数式lg(2x1)中实数x的取值范围是_(2)对数式log(x2)(x2)中实数x的取值范围是_思路探究根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解(1)(2)(2,3)(3，)(1)由题意可知对数式lg(2x1)中的真数大于0，即2x10，解得x，所以x的取值范围是.(2)由题意可得解得x2，且x3，所以实数x的取值范围是(2,3)(3，)在对数式中，对数的底数与真数有什么要求？提示根
5、据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0.1对数式log(2x3)(x1)中实数x的取值范围是_(2，)由题意可得解得x，且x2，所以实数x的取值范围是(2，) 类型2指数式与对数式的互化【例2】(1)将下列指数式与对数式互化：log2164；logx6；4364；32；lg 1 0003.(2)(对接教材P18例4)设alog310，blog37，求3ab的值思路探究(1)根据axNlogaNx(a0且a1，N 0)求解；(2)由于a，b是对数，所以可考虑用指数式表示出a，b，再把它们代入式子中解(1)因为log2164，所以2416.因为logx6，所以()6x.因为4364
6、，所以log4643.因为32，所以log32.因为lg 1 0003，所以1031 000.(2)因为alog310，blog37，所以3a10,3b7.则3ab.1指数式与对数式互化的方法技巧(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式2互化时应注意的问题(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示2(1)将下列各等式化为相应的对数式或指数式：103；ln 2x.(2)已知a0且a1
7、，loga2m，loga3n，求a2mn的值解(1)因为103，所以lg3.因为ln 2x，所以ex2.(2)根据条件loga3n及对数的定义可得an3，由loga2m及对数的定义可得am2，所以a2mna2man(am)2an22312. 类型3对数的性质与对数恒等式1是不是所有的实数都有对数？提示负数和0没有对数2根据对数的定义及对数与指数的关系，你能求出loga1，logaa分别等于什么吗？提示因为a01，所以loga10；因为a1a，所以logaa13你能推出对数恒等式aN(a0且a1，N 0)吗？提示因为axN，所以xlogaN，代入axN可得aN.【例3】(1)设f(x)是定义在R
8、上的奇函数，当x0时，f(x)xex，则f(ln 6)()Aln 66Bln 66Cln 66Dln 66(2)有以下四个结论：lg(lg 10)0；ln(ln e)0；若10lg x，则x100；若eln x，则xe2.其中正确的是()ABCD思路探究(1)根据奇偶性先将f(ln 6)化为f(ln 6)再代入求解(2)根据对数的性质逐一判断即可(1)C(2)C(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln 6)f(ln 6)(ln 6eln 6)(ln 66)ln 66.(2)因为lg 101，所以lg(lg 10)0，故正确；因为ln e1，所以ln(ln e)0，故正确；由10lg
9、 x，得1010x，故x100，故错误；由eln x，得eex，故xe2，所以错误1利用对数性质求解的两类问题的解题方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解2对数恒等式aN的应用(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可(2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解3计算：log2_.log2log22.4已知log5(log3(log2a)0，计算36的值解因为log5(log3(log2a)0，所以log3(log2a)1，即
10、log2a3.所以a238.所以原式(62)6a264.1把对数式xlg 2化为指数式为()A10x2Bx102Cx210D2x10A根据指数式与对数式的互化可知xlg 2化为指数式为10x2.2若log8x，则x的值为()AB4C2DAlog8x，x822，故选A3若3x2，则x等于()Alog23Blog32C32D23B由指数式化为对数式可知xlog32.4计算2_.202222log254520.5在对数式blog(a2)(5a)中，实数a的取值范围是_(2,3)(3,5)要使对数式有意义，则需解得2a5且a3.回顾本节内容，自我完成以下问题：1对数与指数有怎样的关系？提示指数式与对数式的互化(其中a0且a1)：(1)对数运算是指数幂运算的逆运算；(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键2对数有哪些性质？提示(1)负数和零没有对数(2)1的对数是0.(3)底数的对数是13对数概念中，有哪些容易出错的地方？提示对数式中容易忽视底数与真数的范围