1、第九章解析几何单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1如果方程x2ky23表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A(0，)B(0,2)C(1，) D(0,1)答案D解析方程化为1，由3得0kb0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)若c是a与m的等比中项，n2是m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率等于()A. B.C. D.答案B解析c2am,2n2c2m2，又n2c2m2，m2c2，即mc.c2ac，则e.8.如图，过抛物线x24py(p0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2(yp)2p2于点A、B、C、D，则的值是()A8p2 B4p
2、2C2p2 Dp2答案D解析|AF|pyA，|DF|pyB，|yAyBp2.因为，的方向相同，所以|yAyBp2.9已知抛物线y22px(p0)与双曲线1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A. B.1C.1 D.答案C解析由已知F(，0)，且AFx轴，则A(，p)，把抛物线代入双曲线得yAp，a2b2，4a44a2b2b4.又b2c2a2，c46a2c2a40，即e46e210，解得e1.10. 已知两点M(3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且|0，则动点P(x，y)到点A(3,0)的距离的最小值为()A2 B3C4 D6答案B解析因为M(3,
3、0)，N(3,0)，所以(6,0)，|6，(x3，y)，(x3，y)由|0得66(x3)0，化简整理得y212x，所以点A是抛物线y212x的焦点，所以点P到A的距离的最小值就是原点到A(3,0)的距离，所以d3.11过点P(x，y)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2且1，则点P的轨迹方程是()A3x2y21(x0，y0)B3x2y21(x0，y0)C.x23y21(x0，y0)D.x23y21(x0，y0)答案D解析设Q(x，y)，则P(x，y)，由2，A(x,0)，B(0,3y)(x,3y)从而由(x，y)(x,3y)1.得x23y21
4、其中x0，y0，故选D.12已知抛物线yx2上有一定点A(1,1)和两动点P、Q，当PAPQ时，点Q的横坐标取值范围是()A(，3 B1，)C3,1 D(，31，)答案D解析设P(x1，x)，Q(x2，x)kAPx11，kPQx2x1由题意得kPAkPQ(x11)(x2x1)1x2x1(1x1)1.利用函数性质知x2(，31，)，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13设双曲线x2y21的两条渐近线与直线x围成的三角形区域(包含边界)为E，P(x，y)为该区域的一个动点，则目标函数zx2y的最小值为_答案14已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过
5、C、D两点的椭圆的离心率为_答案1解析令AB2，则AC2，椭圆中c1,2a22a1，可得e1.15若焦点在x轴上的椭圆1上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b的取值范围是_答案b且b0解析设椭圆的两焦点为F1(c,0)，F2(c,0)以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点时，在椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂直，此时条件满足cb，从而得c2b2a2b2b2b2a2，解得b且b0.16已知AC，BD为圆O：x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为_答案5解析设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，由垂径定理得AC2，BD2.又ACBD，dd
6、OM23，(S四边形ABCD)2(ACBD)24(4d)(4d)4()24()225(当且仅当d1d2时等号成立)，S四边形ABCD5，即四边形ABCD的面积的最大值为5.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线xy4相切(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P满足PA，PO，PB成等比数列，求的取值范围解析(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线xy4的距离，即r2.得圆O的方程为x2y24.(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1x2.由x24即得A(
7、2,0)，B(2,0)设P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，得x2y2，即x2y22.(2x，y)(2x，y)x24y22(y21)由于点P在圆O内，故由此得y2b0)的两焦点，且AB的中点D在椭圆E上(1)若ABC60，|AB|4，试求椭圆E的方程；(2)设椭圆离心率为e，求cosABC.解析(1)因为ABC60，且ABC为等腰三角形，所以ABC是正三角形又因为点B，C是椭圆的两焦点，设椭圆焦距为2c，则2c|BC|AB|4，如右图所示，连结CD，由AB中点D在椭圆上，得2a|BD|CD|AB|AB|22，所以a1，从而a242，b2a2c22，故所求椭圆E的方程为1.(
8、2)设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，且|AD|DB|m，连结CD，则|BO|OC|c，|DC|2am，在RtAOB中，cosABC.在BCD中，由余弦定理，得cosABC.由式得2m，代入式得cosABC.19(本小题满分12分)如图，点A，B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解析(1)由已知可得点A(6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)，由已知得，则2x29x18
9、0，x或x6.点P位于x轴上方，x6舍去，只能取x，由于y0，于是y，点P的坐标是(，)(2)直线AP的方程是xy60.设点M的坐标是(m,0)(6m6)，则M到直线AP的距离是，于是6m，解得m2，椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有d2(x2)2y2x24x420x2(x)215，由于6x6，当x时，d取得最小值.20(本小题满分12分)设椭圆C：1(a0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且0，坐标原点O到直线AF1的距离为|OF1|.(1)求椭圆C的方程；(2)设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点P(1,0)，交y轴于点M，若2，求直线l的方程解析(1)由题设
10、知F1(，0)，F2(，0)由于0，则有，所以点A的坐标为(，)，故所在直线方程为y()所以坐标原点O到直线AF1的距离为(a)，又|OF1|，所以，解得a2(a)，所求椭圆的方程为1.(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l斜率为k，直线l的方程为yk(x1)，则有M(0，k)设Q(x1，y1)，2，(x1，y1k)2(1x1，y1)，又Q在椭圆C上，得1，解得k4.故直线l的方程为y4(x1)或y4(x1)，即4xy40或4xy40.21(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切，求椭圆的焦点坐标；(2)若点P是
11、椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，当kPMkPN时，求椭圆的方程解(1)由b，得b.又2a4，a2，a24，b22，c2a2b22，两个焦点坐标为(，0)，(，0)(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，不妨设M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(x，y)，M，N，P在椭圆上，它们满足椭圆方程，即有1，1，两式相减得.由题意它们的斜率存在，则kPM，kPN，kPMkPN，则，由a2，得b1.故椭圆方程为y1.22(本小题满分12分)椭圆1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、
12、B两点(1)如果点A在圆x2y2c2(c为椭圆的半焦距)上，且|F1A|c，求椭圆的离心率；(2)若函数ylogmx(m0且m1)的图象，无论m为何值时恒过定点(b，a)，求的取值范围解析(1)点A在圆x2y2c2上，AF1F2为一直角三角形，|F1A|c，|F1F2|2c，|F2A|c.由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，cc2a.e1.(2)函数ylogmx的图象恒过点(1，)，由已知条件知还恒过点(b，a)，a，b1，c1.点F1(1,0)，F2(1,0)，若ABx轴，则A(1，)，B(1，)，(2，)，(2，)，4.若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为yk(x1)由消去y，得(12k2)x24k2x2(k21)0.(*)8k280，方程(*)有两个不同的实根设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两个根x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)，(x11)(x21)y1y2(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k2(1k2)(k21)()1k2.12k21，01,0，1，综上，由，知1.
